定理752:设Y()-∞<1<∞为实的均方连续的平稳过程,则均值具有遍历性 即limx(t)d= m s lim T(rdr=o ∫E[x(s)-mlx()-m 证明: -T-T 4]2JT(s-tdsdr T-T 令l=s-1,v=s+t, ( dt 11(r()dv 4722 8 r(udu T(u)(2T-1up)du (u)du 2T 因此lmnx(n)d →2T 0(2ry()dr=0。 类似的令Y(t)=X(+)X(1),考虑Y()的均值遍历就可以得到X(n)相关函数的 遍历性定理 定理73:相关函数具有遍历性台lmj(1-n(a)-R(r}=0,其中 B(u)=EX(+r+uX(t+uX(+r)X(o (由于上式涉及到4阶矩,一般很难验证,往往对X(1)还是正态过程时可以算出。 例751:X(1)=Asin(wt+O),b为-x,x]上的均匀分布,则X(t)为零均值平稳 过程,协方差函数r(x)=A2 cOS wi,由于 limIT(a)dr=im4 SInt T→∞2T T 故均值具有遍历性。 在对随时间连续变化的信号分析处理时,一般是获得一些离散的采样值。例 如每隔定长时间△对K(n)进行观测,获得X()在t=k的数值X(k△)。若采样点 过密,增加处理难度且一般花费大;过稀又可能失真,误差大。因此要选择合适定理 7.5.2：设 为实的均方连续的平稳过程，则均值具有遍历性， 即 X (t),−∞ < t < ∞ X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ ( ) 0 2 1 1 lim 2 0 ⎟Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ →∞ T T d T T τ τ τ 。 证明： [ ][ ] s t dsdt T E X s m X t m dsdt T X t dt m T E T T T T T T T T T T ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − − − − − = Γ − − = − − ( ) 4 1 ( ) ( ) 4 1 ( ) 2 1 2 2 2 令u = s − t,v = s + t ， ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎟Γ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Γ − = − − = Γ = Γ − − − − − − T T T T u T u T T T T u du T u T u T u du T u du dv T u dudv T X t dt m T E 2 0 2 2 2 2 (2 ) 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 1 ( )(2 ) 4 1 ( ) 8 1 ( ) 2 1 4 1 ( ) 2 1 因此 X t dt m T T T T = ∫ − →∞ ( ) 2 1 lim ⇔ ( ) 0 2 1 1 lim 2 0 ⎟Γ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ →∞ T T d T T τ τ τ 。 类似的令Y(t) = X (t +τ )X (t) ，考虑 的均值遍历就可以得到 相关函数的 遍历性定理。 Y(t) X (t) 定理 7.5.3：相关函数具有遍历性 ⇔ [ ( ) ( )] 0 2 1 1 lim 2 0 2 ⎟ − = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ∫ →∞ T T B u R du T u T τ ，其中 B(u) = EX (t +τ + u)X (t + u)X (t +τ )X (t)。 (由于上式涉及到 4 阶矩，一般很难验证，往往对 X (t)还是正态过程时可以算出。) 例 7.5.1： X (t) = Asin(wt +θ )，θ 为[−π ,π ]上的均匀分布，则 为零均值平稳 过程，协方差函数 ，由于 X (t) (τ ) A coswτ 2 Γ = 0 sin ( ) lim 2 1 lim 2 Γ = = →∞ − →∞ ∫ wT A wT d T T T T T τ τ ， 故均值具有遍历性。 在对随时间连续变化的信号分析处理时，一般是获得一些离散的采样值。例 如每隔定长时间∆对 X (t)进行观测，获得 X (t)在t = k∆ 的数值 。若采样点 过密，增加处理难度且一般花费大；过稀又可能失真，误差大。因此要选择合适 X (k∆) 6