的间隔。 定理7.54:( Sampling Theoren)设X(r)-∞<t<∞为实的均方连续的平稳过程, 若谱函数F()满足∫F(m)=0,设4≈1,则X(O)=∑X(k)-A) 2B 证明:由谱分解 X(1)=「edl5() 考虑e的 Fourier变换em~∑ane 其中 「eme2h= 。因此由 Fourier级数理论 4TB 0=lim dF(w)=lim EX(O) 叫<2 2B 这表明X()=∑Xm)-4 (t-n△) 采样定理表明,当釆样时间间隔Δ≤(B为最高频率)时,采样值可以准确恢 2B 复X() 76线性时不变系统中的平稳过程 所谓系统,就是对于任何输入,按照一定规则产生输出的装置。 定义761:设系统L输入x(1),输出y(t)=Lx(t)。若对任何输入x1(n),x2(t)及任 意a,B,输出Lox1(1)+2()=ax:()+Px2(),则称系统L为一个线性系统 ( linear system):若对任意τ,Lx(t+r)=y(t+r),则称系统L为一个时不变系统 (time-invariant system) 引理7.6,1:设L为一个线性时不变系统,若输入x()=e厘,则输出 y()=Lem=H(mle,其中H(v)=Leml=y(0)的间隔。 定理 7.5.4：(Sampling Theorem)设 X (t),−∞ < t < ∞ 为实的均方连续的平稳过程， 若谱函数 F(w)满足 ( ) 0 2 = ∫ w ≥ B dF w π ，设 2B 1 ∆ = ，则 ∑ ∞ =−∞ − ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ k t k t k X t X k ( ) sin ( ) ( ) ( ) π π 。 证明：由谱分解 ∫ < = w B jwt X t e d w π ξ 2 ( ) ( ) 考 虑 e jwt 的 Fourier 变 换 ∑ ∞ n=−∞ B w jn n jwt e a e 2 ~ , 其 中 ( ) sin ( ) 4 1 2 2 2 − ∆ ∆ − ∆ ∆ = = ∫ − − t n t n e e dw B a B B B w jn jwt n π π π π π 。因此由 Fourier 级数理论 2 2 2 2 2 0 lim ∫ ∑ ( ) lim ( ) ∑=− →∞ < =− →∞ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = − N n N n N w B N n N B w jn n jwt N B n e a e dF w E X t a X π 这表明 ∑ ∞ =−∞ − ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ n t n t n X t X n ( ) sin ( ) ( ) ( ) π π 。 采样定理表明，当采样时间间隔 2B 1 ∆ ≤ ( B 为最高频率)时，采样值可以准确恢 复 X (t)。 7.6 线性时不变系统中的平稳过程 所谓系统，就是对于任何输入，按照一定规则产生输出的装置。 定义 7.6.1：设系统 L 输入 x(t)，输出 y(t) = Lx(t) 。若对任何输入 及任 意 ( ), ( ) 1 2 x t x t α, β ，输出 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 L αx t + βx t = αLx t + βLx t ，则称系统 为一个线性系统 (linear system)；若对任意 L τ ，Lx(t +τ ) = y(t +τ ) ，则称系统 为一个时不变系统 (time-invariant system)。 L 引 理 7.6.1 ： 设 为一个线性时不变系统，若输入 ，则输出 ，其中 L jwt x(t) = e jwt jwt y(t) = Le = H(w)e ( ) (0) 0 H w Le y t jwt = = = 。 7