证明:对任意固定的r,y(t+)=Lemn)= e/ Le=emy(1)。令t=0, y(r)=emy(0)=H()em,由r的任意性即得y(t)=H(w)em。 设H()=H()le),则H(v)表征系统的振幅 ( amplitude.性,(n)表征 系统的相位( phase)特性,H()称为频率响应( frequency response)。设输入x()为 平方可积函数,即jx()dt<∞,则 x()=X(wje"" 其中x(n)=「x()ed为x()的 Fourier变换,称为x()的频谱 frequency spectra。将x()表为x()=im∑X()em△Mm,若L为一个连续的线性时 不变系统,则 y(o=Lx(0=Lim 2r <X(w*DeJw! AWk=lim X(w)Lem4△ X(w)H(w, )e/ Aw: 2r JY(w)H()e wch 由于mD2zJy(m)mhm,其中Y(m)=∫voc-为y(的频谱。故有频谱关 Y()=X()H() 若Joh,则由 Fourier分析MO)=Jm)h H()=「h()eat。则 y=Yow)e/"dt=_s X(w)H(w)edt x(s)e- H(w)e"dt 2 s!2兀 x d(w)erfl-sdt ds=x(s)h(t-s)证明：对任意固定的τ ， 。令 ， ，由 ( ) ( ) ( ) y t Le e Le e y t jw t τ jwτ jwt jwτ +τ = = = + t = 0 τ τ τ jw jw y( ) = e y(0) = H(w)e τ 的任意性即得 y(t) = H(w)e jwt 。 设 ( ) ( ) ( ) j w H w H w e θ = ，则 H(w) 表征系统的振幅(amplitude)特性，θ (w) 表征 系统的相位(phase)特性， 称为频率响应(frequency response)。设输入 为 平方可积函数，即 H(w) x(t) < ∞ ∫ ∞ −∞ x t dt 2 ( ) ，则 ∫ ∞ −∞ x t = X w e dw jwt ( ) 2 1 ( ) π 其中 为 的 Fourier 变换，称为 的频谱(frequency spectral)。将 表为 ∫ ∞ −∞ − X w = x t e dt jwt ( ) ( ) x(t) x(t) x(t) = ∑ ∆ k k jw t x t X (wk )e k w 2 1 ( ) lim π ，若 为一个连续的线性时 不变系统，则 L ∑ ∫ ∑ ∑ ∞ −∞ = ∆ = = = ∆ = ∆ X w H w e w X w H w e dw y t Lx t L X w e w X w Le w jwt k k jw t k k k k jw t k k k jw t k k k k ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 lim ( ) 2 1 ( ) lim 2 1 ( ) ( ) lim π π π π 由于 ∫ ∞ −∞ y t = Y w e dw jwt ( ) 2 1 ( ) π ，其中 为 的频谱。故有频谱关 系 ∫ ∞ −∞ − Y w = y t e dt jwt ( ) ( ) y(t) Y(w) = X (w)H(w) 若 < ∞ ∫ ∞ −∞ H w dw 2 ( ) ，则由 Fourier 分 析 ∫ ∞ −∞ h t = H w e dw jwt ( ) 2 1 ( ) π ， ∫ 。则 ∞ −∞ − H w = h t e dt jwt ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ − ∞ −∞ ∞ −∞ − ∞ −∞ ∞ −∞ ⎥ = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = = x s H w e dt ds x s h t s ds y t Y w e dt X w H w e dt x s e ds H w e dt jw t s jwt jwt jws jwt ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2 1 ( ) 2 1 ( ) ( ) π π π π 8