特别当输入为脉冲时,即x(t)=6(1),输出y(r)=h(1),称h)为冲激响应( impulse response) 例761:设输入输出满足差分方程∑by(-k)=∑ax(t-D),则频率响应为 ∑ae H() She 例762:设输入输出满足微分方程∑by“()=∑ax(),则频率响应为 ∑a(n) ∑b(m) 现在考虑输入为一个零均值的均方连续的平稳随机过程X()-∞<1<∞,由 谱分解X()=Je~ad5(m),写成均方极限形式X()=lm∑em△52(,),因此 当L为一个连续的线性时不变系统时, Y()=Lx()=Lim∑em△5()=lim∑Lem△5x(m) imn∑H(m)e~m△2()=「H()emd5x() 这表明输出Y()仍为零均值的均方连续的平稳过程。设Y()本身的谱分解为 Y(=e"a2(m),因此51(m)=∫H()5x()+5。设X()的谱函数为F(, R (r)=Ey()Y(0)=E H(w)e/,(w)|H(w)ds (w) ( 设R()本身的谱分解为R(r)=edF(n),其中F()为Y(的谱函数,因特别当输入为脉冲时，即 x(t) = δ (t)，输出 y(t) = h(t) ，称 为冲激响应(impulse response)。 h(t) 例 7.6.1：设输入输出满足差分方程 ∑ ∑ ，则频率响应为 = = − = − m l l n k k b y t k a x t l 0 0 ( ) ( ) ∑ ∑ = − = − = n k jkw k m l jlw l b e a e H w 0 0 ( ) 。 例 7.6.2：设输入输出满足微分方程 ∑ ∑ ，则频率响应为 = = = m l l l n k k k b y t a x t 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ = = = n k k k m l l l b jw a jw H w 0 0 ( ) ( ) ( ) 。 现在考虑输入为一个零均值的均方连续的平稳随机过程 ，由 谱分解 ，写成均方极限形式 X (t),−∞ < t < ∞ ∫ ∞ −∞ X (t) = e d (w) X jtw ξ = ∑ ∆ k X k jtw X (t) lim e k ξ (w )，因此 当 L 为一个连续的线性时不变系统时， ∑ ∫ ∑ ∑ ∞ −∞ = ∆ = = = ∆ = ∆ lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) H w e w H w e d w Y t LX t L e w Le w X jtw k X k jtw k k X k jtw k X k jtw k k k ξ ξ ξ ξ 这表明输出 仍为零均值的均方连续的平稳过程。设 本身的谱分解为 ，因此 。设 的谱函数为 ， 则 Y(t) Y(t) ∫ ∞ −∞ Y(t) = e d (w) Y jtw ξ ξ = ξ + ξ ∫ −∞ w Y (w) H(u)d X (u) X (t) F (w) X ∫ ∫ ∫ ∞ −∞ ⋅ ∞ −∞ ∞ −∞ ⋅ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = = ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ______________________ ______ H w e dF w R EY Y E H w e d w H w d w X jτ w X X jτ w Y τ τ ξ ξ 设 (τ ) RY 本身的谱分解为 ∫ ，其中 为 的谱函数，因 ∞ −∞ ⋅ R ( ) = e dF (w) Y jτ w Y τ F (w) Y Y(t) 9