此有F1(m)=JH()2dF2(m)+C。特别若X()的谱密度f(m)存在,则Y(O)的 谱密度f()存在且 fY()=H(w)x(w) 例76.3:设输入输出满足Y()+Y(m)=(1),现输入为零均值的平稳过程 X()-<1<∞,其相关函数为R(r)=e,求输出过程Y()的相关函数 R1(r) 由X()的相关函数可得谱密度为(m/=21 ,由系统输入输出关系的 丌4+ 频率响应(0)=~1 故输出Y(t)的谱密度为 fr(w)=H(w)/x(w) 丌(4+2)(1+w2) 所以 Rr(r)=|e/r(w)dw=(2e-T-e),r20 77平稳相关和互谱函数 当研究系统的随机输入输出时,要考虑两个平稳过程,研究它们的相互关系 定义771:平稳过程X(),-∞<1<∞与平稳过程Y(1),-0<1<∞称为平稳相关的, 如果对任意h有EX(s+h)(t+h)=EX(s)Y(t),s,t 当两个平稳随机过程X(t),Y()平稳相关时,它们互相关函数 Rx(S,1)=EX(s)Y()=Rx(s-1)依赖于时间差,用Rx()表示互相关函数。互 相关函数也有谱分解Rn()=edFx(),特别当F()绝对连续即可导时, Rn()=ef()hp,这里Fx()称为X()与Y()的互谱函数,f()称为 互谱密度。(此时互谱函数,互谱密度不一定为实函数)此有 F w H u dF u C w Y = X + ∫ −∞ ( ) ( ) ( ) 2 。特别若 的谱密度 存在，则 的 谱密度 存在且 X (t) f (w) X Y(t) f (w) Y ( ) ( ) ( ) 2 fY w = H w f X w 例 7.6.3：设输入输出满足 Y ′(t) + Y(t) = X (t) ，现输入为零均值的平稳过程 X (t),−∞ < t < ∞ ，其相关函数为 ( ) , 2 τ τ − R = e X ，求输出过程 Y(t) 的相关函数 (τ ) RY 。 由 X (t)的相关函数可得谱密度为 2 4 2 1 ( ) w f w + = π ，由系统输入输出关系的 频率响应 jw H w + = 1 1 ( ) ，故输出Y(t)的谱密度为 (4 )(1 ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 w w fY w H w f X w + + = = π 所以 (2 ), 0 3 1 ( ) ( ) 2 = = − ≥ − − ∞ −∞ ⋅ ∫ τ τ τ τ Y jτ w Y R e f w dw e e 7.7 平稳相关和互谱函数 当研究系统的随机输入输出时，要考虑两个平稳过程，研究它们的相互关系。 定义 7.7.1：平稳过程 X (t),−∞ < t < ∞ 与平稳过程Y(t),−∞ < t < ∞称为平稳相关的， 如果对任意h 有 EX (s h ) Y (t h ) EX (s) Y (t) , s, t 。 __________ ______ + + = ∀ 当两个平稳随机过程 平稳相关时，它们 互相关函数 依赖于时间差，用 X (t),Y(t) ( , ) ( ) ( ) ( ) ______ R s t EX s Y t R s t XY = = XY − (τ ) RXY 表示互相关函数。互 相关函数也有谱分解 ，特别当 绝对连续即可导时， ，这里 称为 与 的互谱函数， 称为 互谱密度。(此时互谱函数，互谱密度不一定为实函数) ∫ ∞ −∞ ⋅ R ( ) = e dF (w) XY jτ w XY τ F (w) XY ∫ ∞ −∞ ⋅ R = e f XY w dw jτ w XY (τ ) ( ) F (w) XY X (t) Y(t) f (w) XY 10