解:x2hn(1 +o(x 2 E不等式的证明 (0,1),求证(1+x)h2(+x) 1)令g(x)=(1+x)hn2(1+x)-x2,g(0)=0 g'(x),g"(x)g"(x) 2n(1+x) <0,g(0)=g"(0)=0 x∈(01)时g"(x)单调下降,g"(x)<0,g(x)单调下降 g(x)<0,g(x)单调下降,g(x)<0;得证。 (0,1),H(x)<0,单调下降,得证 In(1+x) F中值定理问题 12设函数f(x)在-1]具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1, ∫(0)=0,求证:在(-1,1)上存在一点5,使f"()=3 f(x)=f(0)+f(0)x+f'(0)x2+f"(m) 其中∈(0,x),x∈[-1,1 0=f(-1)=f(0)+f(0) 将x=1,x=1代入有 f(1)=f(0)+f"(0)+f"(72) 两式相减:f"(n)+f"(72)=6 3∈[7,n2lf"(s)==[f"()+f"(72)=3 e<a<b<e2,求证:h2b-h2a 证: Lagro ∫(b)-f( ∫(5) In-6-hn 2In 令f(x)=hn解： ( ) 2 ( 1) 2 3 ln(1 ) ( 2 2 1 2 3 2 2 − − − + − + = − + −  + − n n n o x n x x x x x x x = ( ) 2 ( 1) 2 3 1 4 5 3 n n n o x n x x x x + − − + −  + − − 2 ! (0) ( 1) ( ) 1 −  = − − n n f n n E.不等式的证明 11.设 x(0,1) ， 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 1 )ln (1 ) 2 2 −  + + +  −  x x 求证（ x x x ， 证：1）令 ( ) (1 )ln (1 ) , (0) 0 2 2 g x = + x + x − x g = 单调下降， ；得证。 时 单调下降， 单调下降 '( ) 0, ( ) ( ) 0 (0,1) ''( ) ''( ) 0, '( ) 0, '(0) ''(0) 0 (1 ) 2ln(1 ) '( ), ''( ), '''( ) 2       = = + + = − g x g x g x x g x g x g x g g x x g x g x g x 2）令 , (0,1), '( ) 0,单调下降，得证。 1 ln(1 ) 1 ( ) −   + = x h x x x h x F.中值定理问题 12.设函数 f (x)在[−1，1] 具有三阶连续导数，且 f (−1) = 0, f (1) = 1， f '(0) = 0 ，求证：在（-1，1）上存在一点 ，使f '''() = 3 证： 2 3 '''( ) 3! 1 ''(0) 2! 1 f (x) = f (0) + f '(0)x + f x + f  x 其中  (0, x), x[−1,1] 将 x=1，x=-1 代入有 '''( ) 6 1 ''(0) 2 1 1 (1) (0) '''( ) 6 1 ''(0) 2 1 0 ( 1) (0) 2 1   f f f f f f f f = = + + = − = + − 两式相减： f '''(1 ) + f '''(2 ) = 6 [ '''( ) '''( )] 3 2 1 [ ] '''( )   1，2 ， f  = f 1 + f 2 = 13. 2 e  a  b  e ，求证： ( ) 4 ln ln 2 2 2 b a e b − a  − 证： '( ) ( ) ( ) : f  b a f b f a Lagrange = − − 令  ln ln 2ln  ( ) ln , 2 2 2 = − − = b a b a f x x