VoL21 No.3 李擎等：一种新的混沌识别方法（Ⅱ） ·299· 表2 Lorenz系统的关联维数(z变量，M-30,r=5△， 表3L0renz系统的关联维数(x变量，M-30,r=5△M,N=500) N=2000) m,23456789 m23456789 Dm,)1.1071.2201.2181.3541.3931.4431.4681.465 D(m)1.4651.5211.6161.6521.6961.7201.7371.765 Rm)0.9470.9520.9610.9480.9590.9620.9480.950 Rm)0.9280.9340.9430.9510.9480.9390.9400.954 m,1011121314151617 m41011121314151617 Dm)1.4841.5171.5001.4801.5171.5031.4861.523 Dm)1.7511.7491.7561.7311.7451.7441.7361.714 Rm)0.9530.9570.9490.9510.9400.9320.9360.948 Rm)0.9600.9590.9520.9460.9300.9320.9410.952 m1819202122232425 m,1819202122232425 Dm,)1.5071.4891.4871.4711.4991.4861.4851.482 Dm)1.7451.7341.7261.7581.7491.7441.7401.733 R(m)0.9510.9530.9470.9580.9540.9520.9480.951 Rm0.9570.9480.9460.9520.9370.9350.9440.953 m.2627282930 m,2627282930 Dm,)1.4701.4791.4741.4701.483 D(m)1.7701.7661.7501.7291734 R(m)0.9390.9460.9510.9450.953 Rm0.9520.9490.9360.9410.937 表4不同时间序列下Lorenz系统的关联维数(x变量， 饱和值D2=1.74±0.03. M=30,x=5△0 由此可以得出结论：一个混沌系统，当用不 N 500 1000 1500 2000 2500 同的变量对系统进行相空间重构时，所得到的 D21.50±0.031.68±0.031.71±0.031.71±0.031.64±0.03 D(m)都趋近于饱和（尽管不同变量的饱和值有 N30003500400045005000 D21.810.031.76±0.031.690.031.740.031.670.03 所不同).因此，当对一个系统（信号）是否混沌 进行识别时，无论采用系统中的哪个变量，都不 必须满足GP算法对时间序列长度的要求)不 会影响识别结果， 会影响混沌系统（信号）的识别. 12时间序列长度对计算结果的影响 13延迟时间对计算结果的影响 Grassberg提出G-P算法时曾经提到，：重构 在文献[1]中，所采用的延迟时间x=5△t.下 相空间的时间序列长度应为10~10（其中 面对不同延迟时间下Lorenz系统的关联维数进 D,称为分维数或Hausdorff维数，Lorenz系统的 行计算. 分维数约为20)，否则将难以保证算法的正确 Lorenz方程如(1)式所示，当o=10,r=28.0, 性.照此，在计算Lorenz系统的关联维数时，所 b=83时，方程代表的是一个混沌系统.当初始 采用的时间序列长度不得小于100. 值取为(0,1,0)，步长h=0.01,采用4阶Runge- 在文献[1]中，采用的时间序列长度N= Kua法产生一混沌时间序列x(k)(K=1001,1002, 2000.下面对不同时间序列长度下Lorenz系统 …3000). 的关联维数进行计算. 应用该时间序列，取M=30,x=△1，经过新的 Lorenz方程如式(1)所示，当o=10,r=28.0, G-P改进算法得出的D(m)值如表5所示. b=8/3时，方程代表的是一个混沌系统.当初始 由表5可以看出：当m:≥15时，D(m,)趋近于 值取为(0,1,0)，步长h=0.01,采用4阶Runge- 饱和值D2=1.75±0.03.当延迟时间τ取其他值 Kutta法产生一混沌时间序列x(k)(k=1001, 时，D(m)同样达到饱和，具体计算过程不再一 1002,…,1500) 表5 Lorenz系统的关联维数(e变量，M=30,r=△， 应用该时间序列，取M=30,x=5△1，经过新 W=2000) 的G-P改进算法得出的D(m)值如表3所示. m,23456789 由表3可以看到：当m,≥10时，D(m)趋近于 D(m,)1.2071.3621.4531.5341.5821.6011.6261.639 饱和值D2=1.50±0.03.当时间序列长度取其他 Rm)0.9650.9720.9530.9810.9770.9690.9840.975 值时，D(m)同样达到饱和，具体计算过程不再 m1011121314151617 D(m,)1.6761.6871.6951.7061.7141.7201.7241.746 一一列出.当采用x变量时，不同时间序列长度 Rm)0.9740.9600.9380.9570.9140.9470.9880.986 下Lorenz系统的关联维数如表4所示. m.1819202122232425 由此可以得出结论：一个混沌系统，采用不 Dm,)1.7701.7721.7661.7641.7601.7531.7461.738 同的时间序列长度对系统进行相空间重构，不 Rm)0.9670.9710.9530.9470.9530.9370.9450.932 m,2627282930 会影响D(m)的饱和性（尽管不同时间序列长度 D(m,)1.7281.7151.7131.7481.732 的饱和值有所不同)，因此，时间序列的长度（它 R(m)0.9390.9500.9640.9710.938李擎等 一种新的混沌识别方法 表 系 统 的 关 联 维 数 变 量 ，材二 ， △， 刊‘ 功 ‘ 州从〕 〕 附 ‘ 留吕吕吕留吕吕留吕留留告二吕二留二 二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 二二二二二二二二二二二二二二二二二 ‘ 仄 〕 二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二二 理丛 · 坏 饱和值 众 士 由此可 以得 出结论 一个混沌系统 ， 当用 不 同 的变量对系统进行 相 空 间重构 时 ， 所 得到 的 都趋近于饱和 尽 管不 同变量 的饱和 值有 所不 同 因此 ， 当对一个 系统 信号 是 否 混沌 进行识别时 ， 无论采用 系统 中的哪个变量 ， 都不 会影 响识 别结果 时间序列 长度对 计 算结 果 的影 响 吧 提 出 一 算法 时 曾经提到 ‘ ， 重 构 相 空 间 的 时 间序 列 长 度 应 为 沪 一 姗 ， 其 中 称为 分维数或 了维数 ， 系统 的 分维数约 为 ， 否 则将难 以保证 算法 的正 确 性 照 此 ， 在计算 系统 的关联维数 时 ， 所 采用 的 时间序列长度不 得小于 在文献 〔 中 ， 采用 的时 间序列 长 度 二 下 面对 不 同时 间序列长 度 下 系统 的关 联维 数进行 计 算 方 程 如 式 所 示 ， 当 。 ， ， 时 ， 方程 代表 的是 一 个 混 沌 系统 当初 始 值取 为 ， ， ， 步 长 二 ， 采 用 阶 法 产 生 一 混 沌 时 间 序 列 ， ，… ， 应用 该 时 间序 列 ， 取 ， 二 △ ， 经 过 新 的 一 改进算法 得 出的 〕值 如 表 所 示 由表 可 以看到 当 之 时 ， 〕 趋近于 饱和 值 士 当时 间序列 长 度 取 其他 值 时 ， 〕 同样 达 到 饱和 ， 具 体计 算过 程 不 再 一 一 列 出 当采用 变 量 时 ， 不 同 时 间序列 长度 下 系统 的关 联维 数 如表 所 示 由此可 以得 出结论 一 个混沌 系统 ， 采用 不 同 的时 间序列 长度对 系 统进 行相 空 间重 构 ， 不 会影 响 〕 的饱和 性 尽 管不 同 时 间序列 长度 的饱和值有所 不 同 ， 因此 ， 时 间序列 的长 度 它 表 系统 的关联维数 变量 ， 用卜 ， 巧山户件 ‘ ‘ ‘ ‘ 们 〕 表 不 同 时 间序 列 下 系统 的关联维数 变 量 ， 用卜 ，二 书幼 众 肚 肚 士 均 翻士 从 士 肚 士 士 士 必 须满足 一 算法对 时间序列 长 度 的要 求 不 会影 响混沌 系统 信号 的识 别 延 迟 时 间对计 算结 果 的影 响 在文献【 中 ， 所采用 的延迟 时 间 △ 下 面 对不 同延迟 时 间下 系 统 的关 联维 数进 行计算 方程如 式 所示 ， 当。 ， ， 二 时 ， 方 程代表 的是 一 个混 沌 系统 当初 始 值取 为 ， ， ， 步长 二 ， 采用 阶 法 产 生 一 混沌 时 间序列 ， ， … 应用 该时 间序列 ， 取 ， 二 △ ， 经 过新 的 一 改进算法 得 出 的 〕 值如 表 所 示 由表 可 以看 出 当 ‘ 之 巧 时 ， 〕 趋近于 饱 和 值 从 士 当延 迟 时 间 取 其 他值 时 ， 同样 达 到饱和 ， 具 体 计 算 过程 不 再 一 、酬塑 、酬 表 邝 系 统 的 关 联 维 数 变 量 ，对‘ ， 鱿 刀‘ ， ， 兮 ‘ ， ， 脚‘