环( Rings) 环R,由{R,+,x}表示,是具有加法和乘法两个二元 运算的元素的集合,对于环中的所有a,b,C,都服 从以下公理: (A1-A5),单位元是0,a的逆是-a (M1),乘法封闭性,如果a和b属于R,则ab也属于R (M2),乘法结合律,对于R中任意a,b,C有a(bC)=(ab)C o(M3),乘法分配律,a(b+C)=ab+acor(a+b)C=ac+bC (M4),乘法交换律,ab=ba,交换环 (M5),乘法单位元,R中存在元素1使得所有a有a1=1a (M6),无零因子,如果R中有a,b且ab=0,则a=0or b=0. 满足M4的是交换环;满足M5和M6的交换环是整环 claat ay Camerer sclence /echvocage mfy@ustc.edu.cn 现代密码学理论与实践 7/55mfy@ustc.edu.cn 现代密码学理论与实践 7/55  环R, 由{R, +, x}表示, 是具有加法和乘法两个二元 运算的元素的集合，对于环中的所有a, b, c, 都服 从以下公理： ◦ (A1-A5), 单位元是0，a的逆是 -a. ◦ (M1), 乘法封闭性, 如果a和b属于R, 则ab也属于R ◦ (M2), 乘法结合律,对于R中任意a, b, c有a(bc)=(ab)c. ◦ (M3), 乘法分配律, a(b+c)=ab+ac or (a+b)c=ac+bc ◦ (M4), 乘法交换律, ab=ba，交换环 ◦ (M5), 乘法单位元, R中存在元素1使得所有a有 a1=1a. ◦ (M6), 无零因子, 如果R中有a, b且ab=0, 则 a=0 or b=0. 满足M4的是交换环；满足M5和M6的交换环是整环