《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 第二十章曲线积分 §1第一型曲线积分 教学目的掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学内容第一型曲线积分的定义，性质和计算公式。 基本要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式 教学建议 要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式， 教学程序 一、引言：金属曲线的质量问题 设有一根有限的金属曲线C,其线密度是不均匀的，在C上的点(x,y)处的密 度为px,小，试问该曲线的质量是多少？ 用微分分析来处理之，若p均匀，则好处理：mp(C). a)分割：设曲线C端点为A,B从A到B依次插入A,A2,An-1,这样曲线C 就分成了一些小弧段.把A1A(A=A,A.=B)的弧长记为 △S,i=1,2,n,在每一小弧段数AA上都任取一点p5,.显然 当△S,很小时，A1A的质量mi近似等于p5,)△S.从而整个金属曲 线C的质量m: b)作和： r2mi*2p5,m△ c)取极限：令s=max△Si,则 im()AS 上式右端还是分割，作和，取极限，这意外者我们已经达到一种类型的积分， 这种积分就是第一类曲线积分. 抽去上述问题的实际背景，并把它推广到[门中就有下面的定义： 二、第一型曲线积分的概念与性质 (一)、第一类曲线积分的定义《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 1 第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分 教学目的 掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学内容 第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 基本要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学建议 要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学程序 一、引言: 金属曲线的质量问题 设有一根有限的金属曲线 C ,其线密度是不均匀的,在 C 上的点(x,y)处的密 度为 p x y ( , ),试问该曲线的质量是多少? 用微分分析来处理之,若 p 均匀,则好处理: m=p(C). a) 分割:设曲线 C 端点为 A,B,从 A 到 B 依次插入 1 2 1 , , , A A An− ,这样曲线 C 就 分 成 了 一 些 小 弧 段 . 把 A A i i −1 （ 0 , A A A B = = n ） 的 弧 长 记 为 , 1,2, ,  = S i n i ,在每一小弧段数 A A i i −1 上都任取一点 ( , ) p i i   .显然, 当 Si 很小时, A A i i −1 的质量 mi 近似等于 ( , ) p S i i i    .从而整个金属曲 线 C 的质量 m: b) 作和: m= = m i m 1 i =  m i p i i 1 ( , ) Si c) 取极限:令 s=max Si ,则 m=lim = n i p i i 1 ( , ) Si 上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分, 这种积分就是第一类曲线积分. 抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义