《微学分析》下册 第二十章曲线积分 海市大学数学系 定义设L为平面上可求长度的曲线段，(，川为定义在L上的函数.对曲 线L作分割T,它把L分成n个可求长度的小曲线段4，(=l2,n),马的弧 长记为4，分割T的细度为门哪△，在马上任取一点传，n) (i=12,.,n).若有极限 肥nJ, 且J的值与分割T与点怎，n)的取法无关，则称此极限为（川在L上的第一型 曲线积分，记作 ∫fx,y (二)、第一型曲线积分的性质 若4 （d=l2.,”)都存在，c(d=12.n).为常数，则 空恤豆咖 f(x.yps (2)若曲线段L由曲线L,↓2.L。,首尾相接而成， 都存在，则 ∫f f,地∫，西 也存在，且 8若地 都存在，且在L上(sg川，则 t体e恤 Jfxy达 [f(x.y)ds fky (4)若 存在，则 也存在，且 )考/ 存在，L的弧长为5，则存在常数c,使得 fk,y达 =cs, 这里时fk小sc≤mx/k,) 《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 2 定义 设 L 为平面上可求长度的曲线段， f (x, y) 为定义在 L 上的函数．对曲 线 L 作分割 T ，它把 L 分成 n 个可求长度的小曲线段 Li （ i = 1,2,  , n ）， Li 的弧 长记为 i s ，分割 T 的细度为 i i n T = s 1  max ， 在 Li 上 任 取 一 点 ( )  i i , （ i = 1,2,  , n ）．若有极限  ( ) = →  n i i i i T f s 1 0 lim  , = J ， 且 J 的值与分割 T 与点 ( )  i i , 的取法无关，则称此极限为 f (x, y) 在 L 上的第一型 曲线积分，记作 f (x y)ds L  , ． （二）、第一型曲线积分的性质 （1）若 f (x y)ds L  i , （ i = 1,2,  , n ）都存在， i c （ i = 1,2,  , n ），为常数，则 c f (x y)ds L n i  i i =1 , = c f (x y)ds n i L  i  i =1 , . （2）若曲线段 L 由曲线 1 2 L ,L . Ln ，首尾相接而成， f (x y)ds Li  , 都存在，则 f (x y)ds L  , 也存在，且 f (x y)ds L  , = f (x y)ds n i Li  =1 , . （3）若 f (x y)ds L  , ， g(x y)ds L  , 都存在，且在 L 上 f (x, y)  g(x, y) ，则 f (x y)ds L  ,  g(x y)ds L  , . （4）若 f (x y)ds L  , 存在，则 f (x y)ds L  , 也存在，且 f (x y)ds L  ,  f (x y)ds L  , . （5）若 f (x y)ds L  , 存在， L 的弧长为 s ，则存在常数 c ，使得 f (x y)ds L  , = c s ， 这里 f (x y) c f (x y) L L inf ,   max ,