《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 三、第一类曲线积分的计算 定理20.1设有光滑曲线L:D=y你a月7 ,)为定义在上的连续 函数，则 fx,y达∫f)wtNo20)+w2百h =a (3) 证明由弧长公式知道，L上由(=到=4的孤长， 。手o0)+w6h As,= 由V00+w而的连续性与积分中值定理，有 △s,=Vp20)+w2G)M,<t<1,) 所以 2f形nA,立Noc)v(No)+wG04 这里≤≤).设 a2/6Awio+v团-o+vGiy 则有空飞，2ee6+v +0 (4) 令=mx,山，则当门→0时，必有N→0.现在证明g=0 因为复合函数(》关于1连续，所以在闭区间a,月上有界，即存在常数 M,使对-切1ea,刷都有Vo0≤M, N02G)+w2G)-Vp2)+w2≤ε 再由0)+w而在a,月上连续，所以它在a,上一致连续，即对任给的 8>0,必存在6>0，使当<i时有+w阿-O+≤s 从而seM2M=M6-a) 所以=0 3《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 3 三、第一类曲线积分的计算 定理 20.1 设有光滑曲线 L ： ( ) ( )     , , ,     = = t y t x t ， f (x, y) 为定义在上的连续 函数，则 f (x y)ds L  , = ( ( ) ( )) ( ) ( )   +    f  t  t  t  t dt 2 2 , . (3) 证明 由弧长公式知道， L 上由 = i−1 t t 到 i t = t 的弧长, si = ( ) ( )  −  +  i i t t t t dt 1 2 2   ， 由 (t) (t) 2 2  + 的连续性与积分中值定理，有 si = ( ) ( ) i i i    +  t 2 2 ( ) i i i t    t −  1 ， 所以  ( ) =  n i i i i f s 1  , = ( ( ) ( )) ( ) ( ) i n i i i i  f     +   t =1 2 2   ,      ， 这里 ( ) i i i i t     t −  , 1 ．设  = ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i n i i i i  f     +   −   +   t = , [ ] 2 2 1 2 2             ， 则有  ( ) =  n i i i i f s 1  , = ( ( ) ( )) ( ) ( ) i n i i i i  f     +   t =1 2 2   ,      +  ， (4) 令 t = maxt 1 ,  ,t n1 ，则当 T → 0 时，必有 t →0 ．现在证明 lim 0 0 =  →  t . 因为复合函数 f ((t),(t)) 关于 t 连续，所以在闭区间 , 上有界，即存在常数 M ，使对一切 t  , 都有 f ((t),(t))  M ，  ( )+ ( ) −  ( )+ ( )   i i i i 2 2 2 2 ， 再由 (t) (t) 2 2  + 在 , 上连续，所以它在 , 上一致连续，即对任给的   0 ，必存在   0 ，使当 t   时有  ( )+ ( ) −  ( )+ ( )   i i i i 2 2 2 2 ， 从而  ( ) =   = − n i M t i M b a 1    , 所以 lim 0 0 =  →  t