《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海市大学数学系 再由定积分定义 三i)E+pw6o0+v0h 因此当在（④）式两边取极限后，即所要证的式 当曲线L由方程y=以x∈a,表示，且y=)在a,上有连续导函数 「fx,wxAN1+w2x 时，(3)式成为 注：1.小参数值作下限，大参数值作上限 1.上述公式可能为在替换x=x()y=()z=0下积分[f(x,y,达的变 形. 2.注意：d=√x)+y0+z)d山 3.利用弧长公式：把第一类曲线积分化为定积分计算 4.特别地，如果曲线C为一光滑的平面曲线，解为y=(x)(a≤x≤b),那么 有 [/x,ys=∫/几x,p(xlW1+o(x) 若曲线C方程为x=oy)y∈[c,d, 则 Sf.n-jno.hi+ood. 5.这个积分的特性在于曲线C的方向无关，又称为关于弧长的积分 x=cost,0≤1≤开 例1设L是半圆y=asin1, 试计算第一型曲线积分 j62+y2 解 ∫62+yh了aos1+sm7h=a 例2设L是广=r从000到02的一段，试计第第一型线积分必 4 《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 4 再由定积分定义 ( ( ) ( )) ( ) ( ) i n i i i i  f     +   t =1 2 2   ,      = ( ( ) ( )) ( ) ( )   +    f  t  t  t  t dt 2 2 , ， 因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式. 当曲线 L 由方程 y =(x), xa,b 表示，且 y =(x) 在 a,b 上有连续导函数 时，(3)式成为 ( ( )) ( )  +  b a f x xt x dx 2 , 1  . 注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限． 1.上述公式可能为在替换 x = x(t).y = y(t).z = z(t) 下积分 f x y z ds c ( , , ) 的变 形. 2.注意: ds = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ' ' ' x t t t dt y z + + 3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算. 4.特别地,如果曲线 C 为一光滑的平面曲线,解为 y= (x) (a  x  b), 那么 有   f x y ds = f x x + x dx c ( , ) [ , ( )] 1 ( ) ' 2   . 若曲线 C 方程为 x = ( y), y [c,d] , 则 f x y f y y y dy d c c ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) ' 2  =   + . 5.这个积分的特性在于曲线 C 的方向无关,又称为关于弧长的积分. 例 1 设 L 是半圆       = = t y a t x a t 0 sin , cos , 试 计 算 第 一 型 曲 线 积 分 ( )  + L x y ds 2 2 . 解 ( )  + L x y ds 2 2 = ( )  + =   0 2 2 2 2 3 a a cos t sin t dt a . 例 2 设 L 是 y 4x 2 = 从 O(0,0) 到 A(1,2) 的一段，试计算第一型曲线积分  L yds