《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 解 jn-2-a-可 空间曲线L上的第一型曲线积分：设空间曲线 L:x=p0,y=w0,=2X0,1ea,B]. 函数()，0，x)连续可导，则对L上的连续函数fx,y,),有 ∫fx,y=)d达=fo0,w),x0ANo2)+)+x20d. 例3计算积分[x2d,其中L是球面x2+y2+z2=a2被平x+y+:=0 截得的圆周· 解由对称性知，∫xd杰=y本=，→ 达=+少+：达=号=号知.（注意L是大圆)。 例4求y+2+2x达，其中L是球面x2+y2+:2=a2与平面 x+y+:=0的交线。 解法1∫y+2+x达=打2(y+g+2x)达 =2x+y+-+少+脑 c+产+达== 解法2求曲线L的参数方程。由x2+y2+22=a2,x+y+:=0消去y, x2+(x+z)2+z2=a2, 即 +罗0-2品 令：=m1,则《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 5 解  L yds = (2 2 1) 3 4 0 2 4 1 3 2 2 4 1 2 3 2 2 0 2 = −         + =  +  y dy y y . 空间曲线 L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线 L : x = (t), y =(t), z = (t) ,t [,  ]. 函数 (t), (t), (t) 连续可导, 则对 L 上的连续函数 f (x, y,z) , 有 ( )   =  +  +  L f x y z ds f t t t t t t dt   ( , , ) ( ) , ( ) , ( )  ( )  ( )  ( ) 2 2 2 . 例3 计算积分 L x ds 2 , 其中 L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平 x + y + z = 0 截得的圆周 . 解 由对称性知 ,  = L x ds 2  = L y ds 2 L z ds 2 ,  L x ds 2 =   + + = = L L ds a a x y z ds 3 2 2 2 2 3 2 3 ( ) 3 1  . ( 注意 L 是大圆 ). 例 4 求  + + L (xy yz zx)ds ，其中 L 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 与平面 x + y + z = 0 的交线. 解法 1  + + L (xy yz zx)ds  = + + L 2(xy yz zx)ds 2 1  = + + − + + L [(x y z) (x y z )]ds 2 1 2 2 2 2  + + − = L (x y z )ds 2 1 2 2 2  = − − = L ds a a 3 2 2  解法 2 求曲线 L 的参数方程。由 2 2 2 2 x + y + z = a ， x + y + z = 0 消去 y ， 得 2 2 2 2 x + (x + z) + z = a ， 即 ) 2 3 (1 2 ) 2 ( 2 2 2 2 z a z a x + = − ， 令 z asin t 3 2 = ，则