例1.设函数f(x)在(a,b)内可导且f(x)≤M, 证明f(x)在(a,b)内有界 证:取点x∈(a,b)再取异x0的点x∈(a,b),对 f(x)在以xo,x为端点的区间上用拉氏中值定理得 f(x)-f(x0)=f(5)(x-xo)(界于xo与x之间 f(x)=f(x0)+f()(x-x) ≤f(x0)+f"()x-x0 ≤f(x)+M(b-a)=K(定数) 可见对任意x∈(a,b),f(x)≤K,即得所证例1. 设函数 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 ( , ), x0  a b 再取异于 0 x 的点 x(a,b), 对 为端点的区间上用拉氏中值定理,得 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 f x − f x = f   x − x ( ) ( ) ( )( ) 0 0  f x = f x + f   x − x 0 0  f (x ) + f ( ) x − x ( ) ( ) 0  f x + M b − a = K (定数) 可见对任意 x(a,b), f (x)  K , 即得所证