2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 第8讲广义积分阶段综合问题 81广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题:有界函数在有界区间上的积分 广义积分研究的问题:有界函数在无界区间上的积分(第1类).无界函 数在有界区间上的积分(第2类) 定义8.1(第一类广义积分)设函数f(x)在[a,+∞)内的任意有限区间可积 并且极限im[∫(x)dx存在,则称f(x)在[a,+∞)广义积分收敛,其 广义积分为厂f(x)=mJ(x),若不收敛则称广义积分发散 定义8.2(第二类广义积分)设函数f(x)在[a,b)内的任意有限闭子区间可 积,并且极限1im「fx存在,则称f(x)在ab)上的广义积分 收斂其广义积分为 ∫r(x)tx=limJ”f(x)k 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性 f(x)x=1m「fx)x,「f(xlx=lmn「f(x)lx。 A→a 82收敛性的判断准则 8.2.1第一类广义积分收敛性的判断准则 准则81若第一类广义积分∫(x)收敛则厂。f(x)x定收敛 此时称f(x)dx绝对收敛 当厂f(x)收敛,而「(x)方发散时称广义积分条件收敛 准则82若[a+∞)变限积分f()d单调有界,则f(x)dx-定收 斂。特别,非负函数f(x)在[a+0)上有界,则f(x)x一定收敛。 准则8.3(直接比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,+∞),若 g(x)收敛,∫”f(x)一定收歙;若「f(x)发散 g(x)dx一定发散 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 第 8 讲 广义积分 阶段综合问题 8.1 广义积分的定义及收敛性 定积分研究的问题: 有界函数在有界区间上的积分. 广义积分研究的问题: 有界函数在无界区间上的积分（第 1 类）.无界函 数在有界区间上的积分（第 2 类）。 定义 8.1 (第一类广义积分)设函数 f (x) 在[a,+∞) 内的任意有限区间可积, 并且极限 ∫ 存在, 则称 在 →+∞ A A a lim f (x)dx f (x) [a,+∞) 广义积分收敛,其 广义积分为 ，若不收敛,则称广义积分发散。 ∫ ∫ →+∞ +∞ = A a A a f (x)dx lim f (x)dx 定义 8.2 (第二类广义积分)设函数 在 内的任意有限闭子区间可 积, 并且极限 存在, 则称 在 上的广义积分 收敛,其广义积分为 f (x) [a,b) − ∫ → B B b a lim f (x)dx f (x) [a,b) ∫ − ∫ → = B B b a b a f (x)dx lim f (x)dx 。 同样我们可以定义其它广义积分的收敛性: ∫ ∫ −∞ →−∞ = a A A a f (x)dx lim f (x)dx , 。 ∫ + ∫ → = b A a A b a f (x)dx lim f (x)dx 8.2 收敛性的判断准则 8.2.1 第一类广义积分收敛性的判断准则 准则 8.1 若第一类广义积分 ∫ +∞ a f (x) dx 收敛,则 一定收敛, 此时称 绝对收敛. ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx 当 ∫ 收敛，而 +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x) dx 方发散时,称广义积分条件收敛. 准则 8.2 若 变限积分 单调有界，则 一定收 敛。特别，非负函数 在 上有界，则 一定收敛。 [a,+∞) ∫ x a f (t)dt ∫ +∞ a f (x)dx f (x) [a,+∞) ∫ +∞ a f (x)dx 准 则 8.3( 直接比较 法)非负函 数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈[a,+∞) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一定发散. ∫ +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 1 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805