2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 准则84(极限比较法)设f(x),g(x)[a,+∞)内的任意有限区间可 积,g(x)非负,且limf(x)=A,则 x→g(x) )当2≠0时,广义积分”f(x)与厂g(xk有相同的敛散性; ()当=0时,广义积分”g(x)收则「f(x)收敛; ()当A=∞时,广义积分f(x)收敛则厂8(x)收敛 准则8.5(尺度法 bx女x(>0)当p>1时收敛当p≤1时发散 因此,若imxf(x)=220,且P>1,则.f(x)x收敛。 例8.1判断 xInx =dx的收敛性 【解】由 lim Inx 0,存在X>0,使得当x>X>0时,lnx< xInx< >1,由直接比较法,收敛 arctan x 例82判断 dx的收敛性 解】与「比教,由极限比较法:∫" arctan xdx收敛 例8.3判断 的收敛性 解】xinx=mx30(x→+),因此P>1时厂在一收做 P=1时,∫ xInx p<1时,与厂比较,可知lm 因此答案为:P≥1时收敛,p<1时发散。 8.22第二类广义积分收敛性的判断准则 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 准 则 8.4( 极限比较 法 ) 设 f (x), g(x) [a,+∞) 内的任意有 限区间可 积, g(x) 非负, 且 = λ →+∞ ( ) ( ) lim g x f x x , 则 (1) 当λ ≠ 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 ∫ 收敛则 收敛; +∞ a g(x)dx ∫ +∞ a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 收敛则 收敛. ∫ +∞ a f (x)dx ∫ +∞ a g(x)dx 准则 8.5 （尺度法） dx x a ∫ p +∞ 1 (a > 0) 当 p >1时收敛;当 p ≤1时发散. 因此，若 lim ( ) = ≥ 0 ,且 ,则 收敛。 →+∞ x f x λ p x p >1 ∫ +∞ a f (x)dx 例 8.1 判断 dx x x x ∫ +∞ + 1 5 1 ln 的收敛性. 【解】 由 0 ln lim 3 = →+∞ x x x ，存在 X > 0 ，使得当 x > X > 0 时， 3 ln x < x ， 1 6 7 , 1 1 ln 5 3 5 = > + < + p x x x x x x ，由直接比较法，收敛. 例 8.2 判断 dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 的收敛性. 【解】与 dx x ∫ +∞ 1 2 1 比较，由极限比较法， dx x x x x ∫ +∞ + + 1 2 1 arctan 收敛. 例 8.3 判断 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 的收敛性. 【解】 = → ( ) x → +∞ x x x x p p 0 ln 1 ln2 2 ，因此 p > 1时 ∫ +∞ e p x x dx 2 ln 收敛. p = 1时， ∫ +∞ →+∞ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − e B B e x x x dx 1 ln 1 lim ln2 ， p <1时，与 ∫ +∞ e x dx 比较，可知 x n x p x 1 2 1 lim − →+∞ = +∞ ， 因此答案为： p ≥1时收敛， p <1时发散。 8.2.2 第二类广义积分收敛性的判断准则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 2 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805