2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 准则86若第二类广义积分广(x收敛∫f(x)b一定收敛,此时 称」f(x)d绝对收敛」f(x)x收敛而(x)方发散则称广义积 分条件收敛 准则87(直接比较法)非负函数0≤f(x)≤g(x),x∈[a,b),若 g(x)d收敛,f(x)d一定收敛;若f(x)d发散,g(x)dr- 定发散 准则8.8函数(极限比较法)∫(x)g(x)在[{a,b)内的任意区间上可 积,g(x)非负,且1im∫(x)=A,则 1)当A≠0时,广义积分f(x)d与g(x)有相同的敛散性 (2)当λ=0时,广义积分g(x)收敛则f(x)d收敛 (3)当=∞时,广义积分f(x)x收敛则」g(x)d收敛 准则8.9(尺度法 dx当p<1收敛,p≥1时发散.因此,若 i(x-b)f(x)=λ≥0,且p<1,则[∫(x)d收敛。 例84判断广义积分 dx的收敛性 【解】 . sIn 2√Snx 第一个积分显然收敛,对第二个积分令x-丌=t,ax=dt, —dx=-√sin dt ,收敛 sinx 例85计算∫ dx (1+5x2) 【解】取变换x=tanl,as、 则 1+ 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 准则 8.6 若第二类广义积分 ∫ b a f (x) dx 收敛, 一定收敛, 此时 称 绝对收敛. 收敛而 ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x) dx 方发散,则称广义积 分条件收敛. 准 则 8.7 (直接比较法)非负函数 0 ≤ f (x) ≤ g(x), x∈[a,b) , 若 收敛, 一定收敛; 若 发散, 一 定发散. ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.8 函数(极限比较法 ) 在 内的任意区间上可 积, 非负, 且 f (x), g(x) [a,b) g(x) = λ → − ( ) ( ) lim g x f x x b , 则 (1) 当λ ≠ 0 时, 广义积分 与 有相同的敛散性; ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx (2) 当λ = 0 时, 广义积分 收敛则 收敛; ∫ b a g(x)dx ∫ b a f (x)dx (3) 当λ = ∞时, 广义积分 收敛则 收敛. ∫ b a f (x)dx ∫ b a g(x)dx 准则 8.9（尺度法） dx x b b a ∫ p ( − ) 1 当 p <1收敛， 时发散. 因此，若 ,且 ,则 ∫ 收敛。 p ≥1 lim( − ) ( ) = ≥ 0 → − x b f x λ p x b p <1 b a f (x)dx 例 8.4 判断广义积分 dx x ∫ π 0 sin 1 的收敛性. 【解】 dx x ∫ π 0 sin 1 dx x dx x ∫ ∫ = + π π π 2 2 0 sin 1 sin 1 ， 第一个积分显然收敛，对第二个积分令 x −π = t, dx = dt ， dx x dt t dx x ∫ ∫ ∫ = − = 2 0 0 2 2 sin 1 sin 1 sin 1 π π π π ，收敛. 例 8.5 计算 ∫ +∞ + + 0 2 2 (1 5 ) 1 1 dx x x 。 【解】取变换 2 1 tan , t dt x t dx + = = ，则 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 3 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805