2008水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场B座609 电话:62701055 sec t dt 01+5tan't 01+4sin2t2 arctan(2sin(2=-arctan2 2 例8.6设常数a>0,若 则 【解】 arctan a= arctan a, arctan=-.a=1 例8.7计算 arctan x 【解】 arctan xd() =--arctanx dx +li x 1+x +lim [=In(1+6-)+=In 2] In 2 例88 ct·tant d=12dt=或令x 用凑微分法,则 dx (--2)dt dt= arcsin= 例89广义积分 答案:- arccose 【解】取变换e=sect,则 x= In(sect ), e dx= sect tan tdt tan t -dt=--arccose= arcsine 例8.10计算广义积分∫xlm”xd 【解】采用分部积分,即有 刘坤林谭泽光编水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor 电话823788052008 水木艾迪考研辅导基础班 清华东门同方广场 B 座 609 电话：62701055 ∫ + = 2 0 2 1 5 tan sec π dt t t I arctan 2 2 1 arctan(2sin ) 2 1 1 4sin sin 2 0 2 0 2 = = + = ∫ π π t t d t 例 8.6 设常数 a > 0 ,若 ∫ ∫ +∞ + = + a a dx x dx x 2 0 2 1 1 1 1 ,则 a = 。 【解】 a arctan a 2 arctan = − π ， , 1 4 arctan a = a = π . 例 8.7 计算 ∫ +∞ 1 2 arctan dx x x . 【解】 ) 1 arctan ( arctan 1 1 ∫ 2 ∫ +∞ +∞ = − x dx xd x x ∫ +∞ +∞ + = − + 1 1 2 (1 ) 1 1 dx x x arctanx x dx x x x b b ) 1 1 lim ( 4 2 1 + = + − ∫ →+∞ π ln 2] 2 1 ln(1 ) 2 1 lim[ln 4 2 = + − + + →+∞ b b b π ln 2 2 1 4 = + π 例 8.8 ∫ +∞ = − 1 2 x x 1 dx 。 【解】 ∫ ∫ ∫ +∞ = = = ⋅ ⋅ = − 1 2 0 2 0 sec 2 sec tan 2 sec tan 1 π π π dt dt t t t t x x dx x t 或令 t x 1 = ， 用凑微分法，则 ∫ ∫ − − = − +∞ 0 1 2 2 1 2 ) 1 ( 1 1 1 dt t t t x x dx ∫ = = − = 1 0 2 0 2 1 arcsin 1 1 π dt t t . 例 8.9 广义积分 = − ∫ +∞ 1 2 1 x e dx . 答案： 1 arccos 2 − − e π . 【解】取变换e t ，则 x = sec x t e dx t tdt x = ln(sec ), = sec tan ， 1 1 2 arccos arccos arcsin tan 2 tan 1 − − = = − = ∫ − dt e e t t I e π π 例 8.10 计算广义积分 x xdx 。 n ∫ 1 0 ln 【解】 采用分部积分，即有 刘坤林 谭泽光 编 水木艾迪考研培训网 4 www.tsinghuatutor.com 电话 82378805