(X,Y)=a11X2+2a12XY+a22Y2=(a11X+a12Y)X+(a12X+a22Y)Y. =X2+Y2=(X2+Y2). 又因为X:Y不全为零，所以当0时，(X,Y)0,X:Y为二次曲线的非渐 近主方向：当=0时，(X,Y)=0,X:Y为二次曲线的渐近主方向. 5.定理4：中心二次曲线全少有两条主直径，非中心曲线只有一条主直径.事 实上二次曲线或者有一条主直径，或者有两条主直径，或者有无穷多条主直径 证明：略 例1求下列二次曲线的主方向与主直径 (1)5x2+8xy+5y218x18y+9=0: (2)9x2-24xy+16y218x101y+19=0. 54 解：(1)因为I1=5+5=10,I2=45=9, F1(x,y)=5x+4y9,F2(x,y)=4x+5y9, 曲线的特征方程为210+9=0， 解之，得1=1,2=9. 山1=1确定的非渐近主方向为X1:Y1=1:1,山2=9确定的非渐近主方向为 X2:Y2=1:1,从而山它们确定的主直径分别为 1F1(x,y)1F2(x,y)=0, 与 1F1(x,y)+1F2(x,y)=0, 即 xy=0与x+y2=0. 19-12 (2)因11=25，I2=F1216-0, 101 F1(x,y)=9x12y9,F2(x,y)=12x+16y 2, 曲线的特征方程为225=0， 解之，得1=0,2=25. 山1=0确定的渐近主方向为X1:Y1=4:3,山2=25确定的非渐近主方向为X2:Y2 =3:4,从而曲线的唯一主直径为3F1(x,y)+4F2(x,y)=0, 101 或 3(9x12y9)+4(12x+16y2)=0, 即 3x1y+7=0. 例2.直线x+y+1=0是二次曲线的主直径（即对称轴），点(0,0)，(1,1)， (2,1)在曲线上，求曲线方程， 解：设所求曲线为