X+Y"=0或X:=Y:X 所以有 X Y=(al1X al2Y):(al2X a22Y), 因此X:Y成为主方向的条件是 auX+anr =Ax amX+an7=2双（≠0)， (a-0X+4:'=0, 或 a.X+(aa-40r=0 这是一个关于X,Y的齐次线性方程组，而X,Y不能全为零，所以 a,-2 412 =0 a12 2-九 即 2I1+I2=0. 山此可得求主方向与主直径的方法： (1)从2I1+I2=0求出i(i=1,2): (ana)X+auY=0. (②)将i分别代入4X+a:--0得到相应的主方向x1:Yi(行=1,2)： (3)如1果主方向为非渐近主方向，则山XF1(x,y)+Y℉2(x,y)=0,即得 共轭于非渐近主方向的主直径。 三、二次曲线的特征根 1.定义3：方程2I1+I2=0叫做二次曲线的特征方程，特征方程的根叫 做二次曲线的特征根， 2.定理1：二次曲线的特征根都是实数 证明：因为特征方程的判别式 △=I124I2=(a11a22)2+4a122≥0. 所以二次曲线的特征根都是实数 3.定理2：二次曲线的特征根不能全为零. 证明：果二次曲线的特征根全为零，那么I1=I2=0, 即 a11+a22=0月.a11a22a122=0, 从而得 a11=a12=a22=0, 这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零. 4.定理3：二次曲线的特征根确定的主方向X:Y,当0时，为二次曲线的 非渐近主方向：当=0时，为二次曲线的渐近主方向. 证明：因为