教案:向量值映照的无限小增量公式 教案:向量值映照的无限小增量公式 1.知识点(教学内容及其目标概述) 本知识点:多维函数的无限小增量公式。 2.知识要素(教学内容细致目录) ①按单参数直线化思想进行,可有结论 ∫(x)∈R在x∈R点具有直至P阶沿e的方向导数,则有 (x+1)=(元)+1 石ke(x)*+o()∈R 分析:引入()=f(x+A),则有3(0)=9(x)。故按一维函数的无限小增量公式,有: q(2)=(0)+ (0)x+o(2)∈R k=1 进一步引入条件:彐6∈R,f(x)∈Cp(B(x));在B(x)上存在f(x)所有P阶偏导函 数且在x点连续,则有: 1(x+1)=/(x)+∑ 上述条件充分性地保证∫(x)所有的P-2偏导函数在B(x)上可微,f(x)所有的P-1偏导函数在x 点可微。 另,考虑到Ae-=[…1了,上述展开式往往又表示为 但需指出,展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有方向都有统一的“控制速 度”,亦即并非存在对所有方向适用的P阶无穷小量。 ②多项式逼近的唯一性 1)设∑4xx+0(D)=0(→0),此处p=√2+y 第1页共6页教案：向量值映照的无限小增量公式 第 1 页 共 6 页 教案：向量值映照的无限小增量公式 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：多维函数的无限小增量公式。 2. 知识要素（教学内容细致目录） ① 按单参数直线化思想进行，可有结论： f x  在 0 m x  点具有直至 p 阶沿 e 的方向导数，则有：  0 0 0        1 1 ! p k k p k k f f x e f x x o k e             分析：引入     :  f x e  0  ，则有   0  0  k p k f x e      。故按一维函数的无限小增量公式，有：           1 1 0 0 ! p k k p k o k             进一步引入条件：     ，         1 0 ; p f x C B x    ；在 B x   0  上存在 f x  所有 p 阶偏导函 数且在 0 x 点连续，则有：           1 1 1 0 0 0 1 , , 1 1 ! k k k p m k i i k p i i k i i f f x e f x x e e o k x x                      上述条件充分性地保证 f x  所有的 p  2 偏导函数在 B x   0  上可微， f x  所有的 p 1 偏导函数在 0 x 点可微。 另，考虑到 1 , , T m    e e e      ，上述展开式往往又表示为：           1 1 1 0 0 0 1 , , 1 1 ! k m k k p m k i i p k i i k i i f f x h f x x h h o h k x x                    但需指出，展开式的“收敛速度”实际上依赖于方向而非形式上所表示的对所有方向都有统一的“控制速 度”，亦即并非存在对所有方向适用的 p 阶无穷小量。 ② 多项式逼近的唯一性 1）设 0 ( ) 0 ( 0) n i j n ij i j A x x o         ，此处 2 2    x y