教案:向量值映照的无限小增量公式 则有4=0(j为非负整数+=2,…m) 2)设P(x)+o(p")=0(0→0)其中p=x P(x)=∑ax2,a=a1k,k上∑k,x=x鸡…x,k,…k为非负整数, 则有a4=0kkn 分析 1)由∑4xx+0(x2+y)=0,即有40+∑4x4+o(x2+y2))=0,取√x2+y2→0, i+j=0 I+/=l 则有4=0,再考虑(4x+A4y)+∑4xx+o(x2+y))=0 Aou x2+y2 +∑4 Xx x +o(x2+y2)2)=0 可取y=kx,取极限可有Ao =0,k∈R,故有A0=A1 设有:∑4xy+∑4xy+o(x2+y2)2)=0,引入y=Ax 则有:∑4x“1+∑4x+o(1+k2)x)=0 即有 A2+ 飞x+0(+k23x+)2=0,取x→0∈R 则有:∑4=∑A-=0「0、x,2141=0 i+j=k A 故有 0∈R 1k+1…(k+1)A 系数矩阵为范德蒙行列式,故有A.0=4-=…=4k=0 2)考虑高维情形 第2页共6页教案：向量值映照的无限小增量公式 第 2 页 共 6 页 则有 0 (i,j i+j=0, ) 1,2, , ij A  为非负整数 n 2）设 ( ) ( ) 0 ( 0) n n P x    o   其中  | | x 1 2 , , , | | ( ) , n k n k k k k n P a k k x x a a     , 1 2 1 1 1 2 | | , , , , n n k k n k k i n i k x x x k k x k      为非负整数， 则有 0,| | k a k   n 分析 1）由 2 2 2 0 (( ) ) 0 n n i j ij i j A x x o x y       ，即有 2 2 2 00 1 (( ) ) 0 n n i j ij i j A A o x x x y        ，取 2 2 x y   0， 则有 00 A  0 ，再考虑 2 2 2 10 01 2 ( ) (( ) ) 0 n n i j ij i j A x A y A x x o x y         1 2 2 2 10 01 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (( ) ) 0 ( ) n i j n ij i j x y x x A A o x y x y x y x y A              可取 y kx  ，取极限可有 10 01 2 2 0, 1 1 1 k A A k k k       ，故有 10 01 A   A 0 设有： 2 2 2 1 (( ) ) 0 n n i j i j ij ij i j k i j k A x y x y o x y A          ，引入 y  x 则有： 2 2 1 ((1 ) ) 0 i j n n j j i j n ij ij i j k i j k A x   x A o k x            即有： 2 2 1 ((1 ) ) 0 n n j j i j k n k ij ij i j k i j k A x   A o k x             ，取 x  0 则有： ,0 0 1 1,1 , 0 0, 0 , , , 0 k j j k k ij k j j i j k j k k A A A A A                                   故有 ,0 1,1 1 0, 1 1 1 1 2 2 0 1 1 ( 1) k k k k k k A A k k A                          系数矩阵为范德蒙行列式，故有 ,0 1,1 0, 0 Ak k k     A  A 2）考虑高维情形