九、(8分)设A是n×n实对称矩阵,证明:矩阵A22A+5En是正定矩阵。 证:因为A22A+5E=(AE)2+4E,对于任意X∈R,且Ⅹ≠0,有 XT(A2-2A+4E)X=X(A-E)X+4XEX=X(A-E)(A-E)X+4XEX (A-E)X[(A-E)X+4XX>0 所以A22A+5E是正定的 第5页共5页第 5 页 共 5 页 九、（8 分）设 A 是 n×n 实对称矩阵，证明：矩阵 A2-2A+5En是正定矩阵。 证：因为 A2-2A+5E=（A-E）2+4E，对于任意 X∈Rn，且 X≠0，有 XT（A2-2A+4E）X= XT (A-E) 2X+ 4XTEX=XT (A-E)T (A-E)X+ 4XTEX = [(A-E) X]T [ (A-E)X]+4XTX＞0 所以 A2-2A+5E 是正定的．