大概四个月,由于同年11月7日的一场不大的风,每秒19米,这个风很小, 大概八级风吧,引起了振幅接近九米的颤振,正负九米相当于三层楼髙,普通住 房的三层楼髙,在这样大振幅的振荡之下,不一会儿这个桥就塌毁了,这就是当 时实际的振荡,最后倒塌了。这是Hopf分岔不仅会产生乐器、噪音,飞机的颤 振、桥的颤振。还有一种,大概在生态上头硏究当中有一种模型叫做“捕食者模 型",假如有两种生物共在一个池子里头,比方说我们说是大鱼和小鱼,大鱼吃 小鱼,那么大鱼多了的时候呢,小鱼就很快的被吃掉了,小鱼就没有了,没有了 呢,大鱼就饿死了,大鱼就减少了,大鱼减少到一定程度呢,小鱼失掉了它的天 敌,于是小鱼就拼命繁殖,小鱼繁殖小鱼又增加,它并不经常是大鱼、小鱼处于 一个平衡点,而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态,这 个状态也是一个典型的分岔,Hopf分岔,1918年意大利数学家把这个最早研究 了两种生物的捕食者模型,当然了,现在生态学发展了,研究整个的生物链, 个生物链的一个彼此消涨的情况。 同样,股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性 的推移、心脏的周期性的跳动等等,都可以看作是一种分岔现象,也是一种Hopf 分岔。1900年法国人做了一个流体实验,在一块金属板上放了一个液体,下头 加热这块金属板,开始的时候,整个的液体不动,加热到一定的程度以后,这个 液体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动,也是一种周期运动,但是除了 时间上的周期以外,还有空间上的周期,这个在气象上很重要,我们平常看到太 阳晒得,就像这样的天气,晒到下午地面热的时候,加热这个空气,空气就产生 局部的环流,单地的局部的环流就产生局部的风,你骑车进城的时候你就会发现, 会儿顶风、一会儿顺风,这样的正好就是这种现象的一个表示,这也是一种典 型的Hopf分岔,不过呢,它是在流体,实际上这是在一个连续体当中的一个Hopf 分岔。 我们讲了这些现象,我可以要举多少例子几乎就可以举多少例子,说明分岔 是自然界和社会中的相当常见的普遍现象;第二,在不同领域中,对分岔有不同 的名称,在我们力学当中,比如叫临界载荷,我刚才说了;在物理当中叫临界温 度、临界参数,有的叫转捩点、有的叫阈值,有的叫什么激励参数、什么危险限 等等,这些都是不一样的。最后讲了这些例子和这个情况以后呢,我们想总结一 下,现在分岔研究的意义到底是在于什么呢? 第一点,我认为分岔的研究沟通了不同领域,既然刚才说了,从乐器到噪声 到飞机一直到股票都可以有分岔,那么于是很多学科共同来探讨分岔的共同规 律,现在有的人就特别是形成一门叫做“非线性科学”,非线性科学的相当一部分 工作就是要找分岔的规律。大概四个月，由于同年 11 月 7 日的一场不大的风，每秒 19 米，这个风很小， 大概八级风吧，引起了振幅接近九米的颤振，正负九米相当于三层楼高，普通住 房的三层楼高，在这样大振幅的振荡之下，不一会儿这个桥就塌毁了，这就是当 时实际的振荡，最后倒塌了。这是 Hopf 分岔不仅会产生乐器、噪音，飞机的颤 振、桥的颤振。还有一种，大概在生态上头研究当中有一种模型叫做“捕食者模 型”，假如有两种生物共在一个池子里头，比方说我们说是大鱼和小鱼，大鱼吃 小鱼，那么大鱼多了的时候呢，小鱼就很快的被吃掉了，小鱼就没有了，没有了 呢，大鱼就饿死了，大鱼就减少了，大鱼减少到一定程度呢，小鱼失掉了它的天 敌，于是小鱼就拼命繁殖，小鱼繁殖小鱼又增加，它并不经常是大鱼、小鱼处于 一个平衡点，而是经常是处于一种大鱼、小鱼此消彼涨的这样一个振荡状态，这 个状态也是一个典型的分岔，Hopf 分岔，1918 年意大利数学家把这个最早研究 了两种生物的捕食者模型，当然了，现在生态学发展了，研究整个的生物链，一 个生物链的一个彼此消涨的情况。 同样，股票市场的涨落、经济危机的周期性的发生、沙漠当中沙丘的周期性 的推移、心脏的周期性的跳动等等，都可以看作是一种分岔现象，也是一种 Hopf 分岔。1900 年法国人做了一个流体实验，在一块金属板上放了一个液体，下头 加热这块金属板，开始的时候，整个的液体不动，加热到一定的程度以后，这个 液体就做一个小包圈、一个小包圈螺旋式的运动，也是一种周期运动，但是除了 时间上的周期以外，还有空间上的周期，这个在气象上很重要，我们平常看到太 阳晒得，就像这样的天气，晒到下午地面热的时候，加热这个空气，空气就产生 局部的环流，单地的局部的环流就产生局部的风，你骑车进城的时候你就会发现， 一会儿顶风、一会儿顺风，这样的正好就是这种现象的一个表示，这也是一种典 型的 Hopf 分岔，不过呢，它是在流体，实际上这是在一个连续体当中的一个 Hopf 分岔。 我们讲了这些现象，我可以要举多少例子几乎就可以举多少例子，说明分岔 是自然界和社会中的相当常见的普遍现象；第二，在不同领域中，对分岔有不同 的名称，在我们力学当中，比如叫临界载荷，我刚才说了；在物理当中叫临界温 度、临界参数，有的叫转捩点、有的叫阈值，有的叫什么激励参数、什么危险限 等等，这些都是不一样的。最后讲了这些例子和这个情况以后呢，我们想总结一 下，现在分岔研究的意义到底是在于什么呢？ 第一点，我认为分岔的研究沟通了不同领域，既然刚才说了，从乐器到噪声 到飞机一直到股票都可以有分岔，那么于是很多学科共同来探讨分岔的共同规 律，现在有的人就特别是形成一门叫做“非线性科学”，非线性科学的相当一部分 工作就是要找分岔的规律