134 系统工程理论方法应用 第15卷 采用鞅估计函数方程方法来估计NIG扩散过程，然 本文中，选择v(x)满足： 而基于鞅函数估计方程的估计值存在且是非对称正 v(x)=aexp- g6(x-4) 态分布，同时估计值不是有效的；另外，估计值的标 K(ags(z-)) 准差的计算非常复杂。 (5) 本文通过将扩散过程的离散似然作为近似后 式中：g(x)=√8十x2;a,B,6,是分布参数，满足 验，使用MCMC方法来估计抛物线扩散过程，与在 a>|B≥0,6>0.8是标度参数，4是位置参数，B决 经典框架中的ML方法一样，MCMC方法提供了一 定对称性，α决定分布的倾斜度。 个基于贝叶斯分析的全似然推断。在抛物线扩散，离 用MCMC方法估计NIG模型时，首先总结在 散化近似ML方法在数值收敛方面存在困难，然 众多金融文献中关于资产收益序列的经验特征，定 而，MCMC方法提供了从后验分布中抽取参数样本 义r为股票收益，Ryden总结了r,的下列动态性 的方法避免了数值优化的问题，并使借助蒙特卡罗 质： 方法的准确有限样本的推断可行。 (1),是不相关的： 1NIG模型 (2)1r,,的自相关函数缓慢衰诚，衰减的速 度较稳定ARMA自相关函数要慢的多； NIG分布和抛物线分布都是广义抛物线分布 (3)收益绝对值的自相关在幂-1时最大，这 的两种特例，NIG扩散过程较抛物线扩散过程具有 就是泰勒效应，即 更厚的尾部，从而更有利于描述股票价格，为其建 模。 corr(Ir:l,r-)>corr(r,r) 中≠1 (4)收益常常表现出厚尾的边际分布特征。 假定股票价格满足： S,=exp(kt+X:) (1) 2NIG扩散过程的离散化 式中：x为股票价格对数随时间变化系数：S,为股票 使用广泛应用的Euler方法对广义扩散过程 价格：X,为股票价格对数除趋势项后的状态变量， dX,=4(·)dt十o(·)近似，其表达式为： X,=X。+o(X,)dW (2) X+a=X,+u(X,)△t+(X,0)△W,(6) 通过伊藤公式，有 式中，△W,=e√，e~idN(0,1),给定X,的观测 ds,-++ 值集合X={,:t=0,1,…,n},则参数0基于观测 值集合的对数似然函数为 v(logS.kt)dw. (3) logPe(01X)= 是21ogoz,0a)- 注意到，如果函数(·)是一个常数，关于S,的模型 是一个在BS公式中使用的几何布朗运动。过程X: 空 3--1-(,)△)2 (7) G(x,0)△t 是一个时变维纳过程，这样式(3)就是一个简单的 B-S模型广义形式。关于logS,的漂移项是一个时间 式中，ps(0X)是基于Euler离散方法的似然函数。 的线性函数t的假定不是必须的，做这样的假定是 3借助MCMC方法估计NIG扩散 为了简单和尽可能的不改变几何布朗运动模型。在 本文中，要讨论的就是当1ogS,有一个确定性漂移 3.1MCMC方法 时的情况。 MCMC方法已经成功应用到统计学中，且相对 通过选择合适的v(x)可以得到几个有趣的模 于传统的独立取样方法具有很多优势，Gewekets]提 型，但是在此仅仅考虑一个特殊而常见的情况，并推 出了使用后验模拟方法完成贝叶斯推断，并强调了 广到一般情况。经验研究表明，股票收益logS+a一 基于贝叶斯推断的MCMC模拟的重要性。Giks[6) logS:的分布不是正态的，分布的尾部趋向于对数线 总结了MCMC算法的应用。MCMC方法在计量经 性。若选择式(4)形式，就是Bibby和Serensen的抛 济学和金融学中的广泛应用可以参见文献[7~9]。 物线扩散过程： 基于数据集合X参数向量日的贝叶斯推断后 [a+u--8x-四] 「 验可以借助后验密度p(|X)得到，通过贝叶斯原 v(t)=oexp 理，有 (4) π(01X)=cp(8川X)π() (8) 万方数据系 统 工 程 理 论 方 法 应 用 第15卷 采用鞅估计函数方程方法来估计NIG扩散过程，然 而基于鞅函数估计方程的估计值存在且是非对称正 态分布，同时估计值不是有效的；另外，估计值的标 准差的计算非常复杂。 本文通过将扩散过程的离散似然作为近似后 验，使用MCMC方法来估计抛物线扩散过程；与在 经典框架中的ML方法一样，MCMC方法提供了一 个基于贝叶斯分析的全似然推断。在抛物线扩散，离 散化近似ML方法在数值收敛方面存在困难，然 而，MCMC方法提供了从后验分布中抽取参数样本 的方法避免了数值优化的问题，并使借助蒙特卡罗 方法的准确有限样本的推断可行。 1 NIG模型 NIG分布和抛物线分布都是广义抛物线分布 的两种特例，NIG扩散过程较抛物线扩散过程具有 更厚的尾部，从而更有利于描述股票价格，为其建 模‘引。 假定股票价格满足： S。一exp(彤￡+X。) (1) 式中：彤为股票价格对数随时间变化系数；S，为股票 价格；X。为股票价格对数除趋势项后的状态变量， Ct X，一X。+I u(X，)dW， (2) J 0 通过伊藤公式，有 ，广 1 1 dS。一s。{i盯+寺可2(109S。一tot)ldt+ 、L 厶 J 、 勘(109S，+／ct)dW。} (3) ， 注意到，如果函数口(·)是一个常数，关于S。的模型 是一个在B—S公式中使用的几何布朗运动。过程X。 是一个时变维纳过程，这样式(3)就是一个简单的 B—S模型广义形式。关于logS。的漂移项是一个时间 的线性函数彤￡的假定不是必须的，做这样的假定是 为了简单和尽可能的不改变几何布朗运动模型。在 本文中，要讨论的就是当logs；有一个确定性漂移 时的情况。 通过选择合适的u(z)可以得到几个有趣的模 型，但是在此仅仅考虑一个特殊而常见的情况，并推 广到一般情况。经验研究表明，股票收益logS件。一 logS。的分布不是正态的，分布的尾部趋向于对数线 性。若选择式(4)形式，就是Bibby和Sq,rensen的抛 物线扩散过程： u(f)=aexpl告a怕可可习一去卢(T一∥)l L厶 厶 J (4) 本文中，选择秽(z)满足： m，一一“一号触一产，)√赢舞筹b (5) 式中：ga(z)一√艿2+z2；a，卢，占，卢是分布参数，满足 口>l卢I≥o，8>0。艿是标度参数，∥是位置参数，卢决 定对称性，口决定分布的倾斜度。 用MCMC方法估计NIG模型时，首先总结在 众多金融文献中关于资产收益序列的经验特征，定 义^为股票收益，Ryden[43总结了n的下列动态性 质： (1)n是不相关的； (2)h I，r；的自相关函数缓慢衰减，衰减的速 度较稳定ARMA自相关函数要慢的多； (3)收益绝对值的自相关在幂一1时最大，这 就是泰勒效应，即 corr(h I，∽一^I)>corr(h l’，I rf一^I 9) j5≠1 (4)收益常常表现出厚尾的边际分布特征。 2 NIG扩散过程的离散化 使用广泛应用的Euler方法对广义扩散过程 dX，一∥(·)dt+盯(·)近似，其表达式为： X件血一X。+∥(X，，0)zXt+盯(X，，O)AW。(6) 式中，／xW。一岛~／&，gt～iid N(0，1)，给定x，的观测 值集合X一{z。：t一0，1，…，，2)，则参数0基于观测 值集合的对数似然函数为 logpE(0Ix)一一丢∑log(a(x，，疗)2At)一 丢塞虹±a(南x拶At ㈩ 2纠 。，口)2 … 式中，PE(护fX)是基于Euler离散方法的似然函数。 3 借助MCMC方法估计NIG扩散 3．1 MCMC方法 MCMC方法已经成功应用到统计学中，且相对 于传统的独立取样方法具有很多优势，Geweke[51提 出了使用后验模拟方法完成贝叶斯推断，并强调了 基于贝叶斯推断的MCMC模拟的重要性。Gilks[63 总结了MCMC算法的应用。MCMC方法在计量经 济学和金融学中的广泛应用可以参见文献[7～9]。 基于数据集合X参数向量0的贝叶斯推断后 验可以借助后验密度P(臼lX)得到，通过贝叶斯原 理，有 7l"(护IX)一cp(咿IX)7r(0) (8) 万方数据