China-pub.com 第11章积分和微分方程组 159 下载 (d)求解下面方程组并不很难： =1-0.1x1x2+0.011 x=-x2+0.02x1x2+0.04 x1(0)=30 x2(0)=20 这个方程组应用在人口动力学中，可以认为是单一化的捕食者一被捕食者模式。例如， 狐狸和兔子。x表示被捕食者，x2表示捕食者。如果被捕食者有无限的食物，并且不会出现捕 食者。于是有x,'=x,这个式子是以指数形式增长的。大量的被捕食者将会使捕食者的数量增 长：同样，越来越少的捕食者会使被捕食者的数量增长。而且，人口数量也会增长。洛特卡 和伏尔泰拉在20世纪20年代已对这些非线性的微分方程进行了研究。 创建函数xprim3,并将其保存在M文件xprim3.m中： function xprim xprim3(t,x) xpr1m=[x(1)-0.1*x(1)*x(2)+0.01*t;. -x(2)+0.02*x(1)*x(2)+0.04*t]; 然后调用一个ODE算法和画出解的图形： [t,x]=ode45('xprim3',[020],[30;20]); plot(t,x) xlabel('time to=0,tt=20'); y1abe1('x values x1(0)=30,x2(0)=20'); 所得结果如图11-5所示。 在MATLAB中，也可以根据x2函数绘制出x的图形。命令p1ot(x(:,2),x(:,1))可绘 制出平面相位图，如图11-6所示。 20 18 O-OIX 10 2030405060700901010 时间t0=0,t=20 X2 图11-6由函数xprim3定义并根据函数 图1l-5函数xprim3定义的ODE解的图形 x2计算出的x,值的曲线图 ■例11.3 对于某些α和b值，下面的问题比较难解：(d) 求解下面方程组并不很难： 这个方程组应用在人口动力学中，可以认为是单一化的捕食者—被捕食者模式。例如， 狐狸和兔子。x1表示被捕食者，x2表示捕食者。如果被捕食者有无限的食物，并且不会出现捕 食者。于是有x1´ =x1，这个式子是以指数形式增长的。大量的被捕食者将会使捕食者的数量增 长；同样，越来越少的捕食者会使被捕食者的数量增长。而且，人口数量也会增长。洛特卡 和伏尔泰拉在2 0世纪2 0年代已对这些非线性的微分方程进行了研究。 创建函数x p r i m3，并将其保存在M文件x p r i m 3 . m中： 然后调用一个O D E算法和画出解的图形： 所得结果如图11 - 5所示。 在M AT L A B中，也可以根据x2函数绘制出x1的图形。命令p l o t ( x ( : , 2 ) , x ( : , 1 ) )可绘 制出平面相位图，如图11 - 6所示。 ■ 例11 . 3 对于某些a和b值，下面的问题比较难解： 第11章 积分和微分方程组 1 5 9 下载 图11-5 函数x p r i m 3定义的O D E解的图形 图11-6 由函数x p r i m 3定义并根据函数 x2计算出的x1值的曲线图 ■ 时间t0=0, tt=20 x2