高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 基于上述定理, Frenet标架的标架运动方程可以表示为 r(s)n'(s)b(s)=(r(s)n(s)b(s)|20 因为r(s)=r"(s)=|r"(s)ln(s),所以有 212=|r"(s) 0. 令(s)=|r"(s)称为曲线该点处的曲率.再引入挠率满足 b(s)=-0(s)n(s) 因此有923=0(s).挠率o(s)可以表示为 (s)=-(b(s,n() d(r(s)×r"(s) r(s)lR3 r"(s) (r"(s)×r"(s,r"(s) (r(s)×r"(s,r"(s) 1 d (s) [r(s)IR3(r(s)r(s),r"(s)) r"(s) (r(s)xr(),r"(s)) r'(s),r"(s),T"(s)g3 "(s13 综上,以弧长为参数的 Frenet标架的运动方程可以表示为 (r()n()b)=(r()n()b0)|)0-(9) 0a(8)0 式中曲率k(s)={r"(s)k,挠率o(s)= r'(s),r"(s),r"(s)]gs 122一般形式的 Frenet标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为r(t)=r(s(t),在不引起混淆的情况下,可以简单地将r(t) 作r(t) 在这种情况下,切向量可以表示为 T(t)=r(s(t)=r(s(t)=x()(s) r(tl 主法向量n)=、r"(s) r"(l,因此首先计算 dT dt d r(t r(t)d dt r(as ) p( r(B-i(ea d r(t)la微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 基于上述定理, Frenet 标架的标架运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) )   0 −Ω12 −Ω13 Ω12 0 −Ω23 Ω13 Ω23 0   . 因为 τ ′ (s) = r ′′(s) = |r ′′(s)|R3n(s), 所以有 Ω12 = |r ′′(s)|R3 , Ω13 = 0. 令 κ(s) = |r ′′(s)|R3 称为曲线该点处的曲率. 再引入挠率满足 b ′ (s) = −σ(s)n(s), 因此有 Ω23 = σ(s). 挠率 σ(s) 可以表示为 σ(s) = − ( b ′ (s), n(s) ) R3 = − ( d ds ( r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) , r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′′(s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 + 1 |r ′′(s)| 3 R3 d ds |r ′′(s)|R3 ( r ′ (s) × r ′′(s), r ′′(s) ) R3 = − 1 |r ′′(s)| 2 R3 ( r ′ (s) × r ′′′(s), r ′′(s) ) R3 = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 综上, 以弧长为参数的 Frenet 标架的运动方程可以表示为 ( τ ′ (s) n ′ (s) b ′ (s) ) = ( τ (s) n(s) b(s) )   0 −κ(s) 0 κ(s) 0 −σ(s) 0 σ(s) 0   , 式中曲率 κ(s) = |r ′′(s)|R3 , 挠率 σ(s) = [r ′ (s), r ′′(s), r ′′′(s)]R3 |r ′′(s)| 2 R3 . 1.2.2 一般形式的 Frenet 标架及其运动方程 设一般形式下的轨迹可以表示为 rˆ(t) = r(s(t)), 在不引起混淆的情况下, 可以简单地将 rˆ(t) 记作 r(t). 在这种情况下, 切向量可以表示为 τ (t) = τ (s(t)) = r ′ (s(t)) = dr dt (t) dt ds (s) = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 主法向量 n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 因此首先计算 r ′′(s(t)) = dτ dt (t) dt ds (s) = ( d dt r˙(t) |r˙(t)|R3 ) 1 |r˙(t)|R3 = r¨(t) |r˙(t)| 2 R3 − r˙(t) |r˙(t)| 3 R3 d dt |r˙(t)|R3 . 4