高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 副法线 法平面 从 面 主法线 密切面 切线 图1: Frenet标架示意 显然, Frenet标架(见图1)是一个正交规范标架.藉此,在曲线上运动的质点,当其运动到某 点时,定义在其上的向量(如速度、加速度等)都可以基于当地的 Frenet标架展开,亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合.以此,可作为进一步的解析基础 由于 Frenet标架是局部的,一般沿着曲线而变化,因此需要硏究局部标架随曲线弧长的变化 率.为此,先引入以下的定理 定理1.3(标架运动方程)·正交规范标架{1(,ω2(t),∽3(t)}随变量t而变化,其变化率 可以通过系数矩阵()米表 (a(00)=(01020-0mm 231232233 上述方程称为标架运动方程(2)是反对称矩阵,亦即=-2n 证明由于 dca·;)dua hnn+∑2nn 2ii+微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 切线 主法线 副法线 τ n b 从 切 面 法平面 密切面 图 1: Frenet 标架示意 显然, Frenet 标架 (见图1) 是一个正交规范标架. 藉此, 在曲线上运动的质点, 当其运动到某 点时, 定义在其上的向量 (如速度、加速度等) 都可以基于当地的 Frenet 标架展开, 亦即将某向 量表示成切向量、法向量以及副法向量的线性组合. 以此, 可作为进一步的解析基础. 由于 Frenet 标架是局部的, 一般沿着曲线而变化, 因此需要研究局部标架随曲线弧长的变化 率. 为此, 先引入以下的定理. 定理 1.3 (标架运动方程). 正交规范标架 {ω1(t), ω2(t), ω3(t)} 随变量 t 而变化, 其变化率 可以通过系数矩阵 ( Ωij) 来表示： ( ω˙ 1(t) ω˙ 2(t) ω˙ 3(t) ) = ( ω1(t) ω2(t) ω3(t) )   Ω11 Ω12 Ω13 Ω21 Ω22 Ω23 Ω31 Ω32 Ω33   . 上述方程称为标架运动方程, ( Ωij) 是反对称矩阵, 亦即 Ωij = −Ωji. 证明 由于 ω˙ i = ∑ 3 p=1 Ωpiωp , ω˙ j = ∑ 3 q=1 Ωqjωq, 则 d(ωi · ωj ) dt = dωi dt · ωj + ωi · dωj dt = ∑ 3 p=1 Ωpiωp · ωj + ∑ 3 q=1 Ωqjωq · ωi = ∑ 3 p=1 Ωpiδpj + ∑ 3 q=1 Ωqjδqi = Ωji + Ωij = 0. 3