高维微分学——曲线向量值映照 谢锡麟 1.2曲线的局部标架及其运动方程 12.1以弧长为参数的 Frenet标架及其运动方程 引理12.如果向量A(t)的模保持不变,则有A(t)⊥A(t) 证明向量A(t)的模保持不变,即有dA(l 0,所以有 (t), A(t 所以(A(t,A()=0,即A()⊥A(t Frenet标架是定义在R3空间中的曲线上的标架,此时将曲线上点的坐标记作r以示区分 在定义了曲线的弧长之后,曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值,即 s(t) ()d 在本章中,若无特殊说明,使用r表示立,而使用r表示.首先,有 dt dt (t)=|(t)l 令 (s)=r(s), 称为切向量.它满足r(s)=--(s) ds dt ds i(t)IR 所以|(s)lRa=1. 根据引理1.2,可得r(s)⊥r(s).于是令 n(s)'(s)l3 r"(s)IRa 称为主法向量.显然|n(s)l3=1 令 b(s)=7(s)×n(s) (s)×r"(s) r(sIR 称为副法向量.显然有|b(s)gs=1,而且b(s)⊥T(s),b(s)⊥n(s) 综上,曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame) 1.切向量:r(s)=r(s); 2.主法向量:n(s)=m 3.副法向量:b(6)=y(s)xr(s微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学—— 曲线向量值映照 谢锡麟 1.2 曲线的局部标架及其运动方程 1.2.1 以弧长为参数的 Frenet 标架及其运动方程 引理 1.2. 如果向量 A(t) 的模保持不变, 则有 A˙ (t)⊥A(t). 证明 向量 A(t) 的模保持不变, 即有 d|A(t)| 2 Rm dt = 0, 所以有 d dt |A(t)| 2 Rm = 2 ( dA dt (t), A(t) ) Rm = 0, 所以 ( A˙ (t), A(t) ) Rm = 0, 即 A˙ (t) ⊥ A(t). Frenet 标架是定义在 R 3 空间中的曲线上的标架, 此时将曲线上点的坐标记作 r 以示区分. 在定义了曲线的弧长之后, 曲线上的每一点都对应一个特定的弧长值, 即 s(t) = ∫ t α     dr dξ (ξ)     R3 dξ. 在本章中, 若无特殊说明, 使用 r˙ 表示 dr dt , 而使用 r ′ 表示 dr ds . 首先, 有 ds dt (t) =     dr dt (t)     R3 = |r˙(t)|R3 , 令 τ (s) = r ′ (s), 称为切向量. 它满足 τ (s) = dr ds (s) = dr dt dt ds = r˙(t) |r˙(t)|R3 , 所以 |τ (s)|R3 = 1. 根据引理1.2, 可得 τ ′ (s)⊥τ (s). 于是令 n(s) = τ ′ (s) |τ ′(s)|R3 = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为主法向量. 显然 |n(s)|R3 = 1. 令 b(s) = τ (s) × n(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 , 称为副法向量. 显然有 |b(s)|R3 = 1, 而且 b(s)⊥τ (s), b(s)⊥n(s). 综上, 曲线每一点上的切向量、法向量以及副法向量可以构成曲线在该点的一个局部标架 (local frame)： 1. 切向量：τ (s) = r ′ (s); 2. 主法向量：n(s) = r ′′(s) |r ′′(s)|R3 ; 3. 副法向量：b(s) = r ′ (s) × r ′′(s) |r ′′(s)|R3 . 2