高维微分学——一曲线向量值映照 复旦力学谢锡麟 16年3月15日 知识要素 11曲线的切向量与切线 定义1.1(曲线).单参数向量值映照即可称为曲线 (t):R[a,月3tr(t) ∈R Xm(t) 由于曲线的自变量为实数,故可研究曲线相对于其自变量/单参数的变化率,可称为切向量 具体定义如下 定义1.2(曲线的切向量) r(t)-r(to) d r(to+△t)-r(to) 按复合向量值映照的极限定理可知上述二个极限等价 性质11.如有曲线r(t)∈Rm在to点可微,则存在x(to)=Dr(to)∈Rm 证明如有曲线r(t)在t点可微,即有 (to+△t)=r(to)+Dr(to)△t+o(△t)∈R 式中Dr(to)=(x1…xm)(t)为r()在t点的 Jacobi矩阵 需指出,如果曲线在某点存在切向量也即为曲线在该点可微 定义1.3(曲线的切线).如果存在曲线r(t)∈Rm在t点的切向量x(to),则可定义曲线 在改点的切线 Z(t):Rt→l(t)全r(to)+(to)(t-to)∈Rn 可见,在to邻近,曲线r(t)同其切线l(t)的“差别”为o(t-to)微积分讲稿 谢锡麟 高维微分学——曲线向量值映照 复旦力学 谢锡麟 2016 年 3 月 15 日 1 知识要素 1.1 曲线的切向量与切线 定义 1.1 (曲线). 单参数向量值映照即可称为曲线 r(t) : R ⊃ [α, β] ∋ t 7→ r(t) =   X1 (t) . . . Xm(t)   ∈ R m. 由于曲线的自变量为实数, 故可研究曲线相对于其自变量/单参数的变化率, 可称为切向量, 具体定义如下 定义 1.2 (曲线的切向量). dr dt (t0) ,    lim t→t0∈R r(t) − r(t0) t − t0 lim ∆t→0∈R r(t0 + ∆t) − r(t0) ∆t , 按复合向量值映照的极限定理可知上述二个极限等价. 性质 1.1. 如有曲线 r(t) ∈ R m 在 t0 点可微, 则存在 dr dt (t0) = Dr(t0) ∈ R m. 证明 如有曲线 r(t) 在 t0 点可微, 即有 r(t0 + ∆t) = r(t0) + Dr(t0)∆t + o(∆t) ∈ R m, 式中 Dr(t0) = ( X˙ 1 · · · X˙ m )T (t) 为 r(t) 在 t0 点的 Jacobi 矩阵. 需指出, 如果曲线在某点存在切向量也即为曲线在该点可微. 定义 1.3 (曲线的切线). 如果存在曲线 r(t) ∈ R m 在 t0 点的切向量 dr dt (t0), 则可定义曲线 在改点的切线 l(t) : R ∋ t 7→ l(t) , r(t0) + dr dt (t0)(t − t0) ∈ R m. 可见, 在 t0 邻近, 曲线 r(t) 同其切线 l(t) 的 “差别” 为 o(t − t0). 1