(②)4≤an Pa-l,1Pn-1为A的n-1级顺序主子式：因此进一步有4≤a11a2…an (3)如果T=(化y)是n阶实可逆矩阵，那么TP≤卫(+…+经). 证明(1)令y=AZ,则 0 f(1,2,…,m)= ..dar =-A(h4+…+h)=-4Y'Z= 0 -AZA.因为A为正定矩阵，所以0n -( 回因为为正定蓝所以也为正定矩年二试室 a11 012 2 a22 d2n 2 f1,,…,-1） 是负定二次型，所以 an-1.1 an-1.2 ..dn-1.n-1 Un-1 h…-1 0 a1,n-1 …an-1n- an-1.n dn.n-1 a11 … a1.n-1 41·a1n-1 0 + fn-l(a,·,an.n-+ dn-1.1...dn-1.n-1 dn-1.n an-1.1·an-1.n-1 0 a1…a,n-1 0 an.n-1 aan -14 当anl,…,a.m-1）中至少有一个不为0时，fn-1(an1,…,an.m-1)<0,于是|A≤aanPnz-1l当an1= …=ann-1=0时，l4=aunP-1l于是|4≤anP-l进一步，4≤amnP-1≤anna-1n-1Pn-2l≤ ,,,<a110m.,,a (3)如果T=()是n阶实可逆矩阵，则TT为正定矩阵，于是由(2)得TP=T'T川≤Ⅱ”1(++) 其中经+ +品：为TT的主对角线上的元素 例5.24设A为正定阵，AB为实对称矩阵，求证AB是正定阵的充要条件是B的特征根全大于0. 证明必要性→由于A正定，AB对称，因而存在可逆阵P,使PAP-E,PABP 0.所以PABP=(PAP)(P-1BP)=P-1BP ,A>0.故B的特征根大于0.充分性台 由上证明可得。 例5.25(1)设A为实对称矩阵.B为正定阵.则AB的特征值全为实数 (②设A为实可逆矩阵，则存在正交矩阵Q及正定矩阵B使得A=QB 证明(1)因 B为正定矩阵，故存在( =C,所以AB= -1(CAC)C.又CAC为 对称阵，其特征根为实数，因而C-1(CAC)C的特征根为实的，即AB的特征根为实数 (②)因为A为实可逆矩阵，所以A'A为正定矩阵，因此存在正定矩阵B使得A'A=B,即B-1A'AB-1= E.因为B-1=(B-1y,所以(4B-1y(4B-1)=E.令Q=AB-1,则QQ=E,于是A=QB. 第10页 (2) |A| ≤ ann|Pn−1|, |Pn−1|èAn − 1?^SÃf™;œd?ò⁄k|A| ≤ a11a22 · · · ann; (3) XJT = (tij )¥n¢å_› , @o|T| 2 ≤ Qn i=1(t 2 1i + · · · + t 2 ni). y² (1) -Y = AZ, K f(y1, y2, · · · , yn) =            a11 · · · a1n 0 . . . . . . . . . an1 · · · ann 0 y1 · · · yn −(y1z1 + · · · + ynzn)            = −|A|(y1z1 + · · · + ynzn) = −|A|Y 0Z = −|A|Z 0AZ. œèAè½› , §±f(y1, y2, · · · , yn)¥K½g.. (2) œèAè½› , §±Pn−1èè½› , d(1) f(y1, y2, · · · , yn−1) =              a11 a12 · · · a1n y1 a21 a22 · · · a2n y2 . . . . . . . . . . . . an−1,1 an−1,2 · · · an−1,n−1 yn−1 y1 y2 · · · yn−1 0              ¥K½g., §± |A| =            a11 · · · a1,n−1 a1n . . . . . . . . . an−1,1 · · · an−1,n−1 an−1,n an1 · · · an,n−1 ann            =            a11 · · · a1,n−1 a1n . . . . . . . . . an−1,1 · · · an−1,n−1 an−1,n an1 · · · an,n−1 0            +            a11 · · · a1,n−1 0 . . . . . . . . . an−1,1 · · · an−1,n−1 0 an1 · · · an,n−1 ann            = fn−1(an1, · · · , an,n−1) + ann|Pn−1|. an1, · · · , an,n−1) •ñkòáÿè0û, fn−1(an1, · · · , an,n−1) < 0, u¥|A| ≤ ann|Pn−1|. an1 = · · · = an,n−1 = 0û,|A| = ann|Pn−1|. u¥|A| ≤ ann|Pn−1|. ?ò⁄,|A| ≤ ann|Pn−1| ≤ annan−1,n−1|Pn−2| ≤ · · · ≤ a11a22 · · · ann. (3) XJT = (tij )¥n¢å_› , KT 0Tè½› , u¥d(2)|T| 2 = |T 0T| ≤ Qn i=1(t 2 1i+· · ·+t 2 ni), Ÿ•t 2 1i + · · · + t 2 nièT 0TÃÈDzÉ. ~5.24 Aè½ ,ABè¢È°› ,¶yAB¥½ øá^á¥BAäåu0. y² 7á5⇒ duA½,ABÈ°,œ 3å_ P,¶P 0AP = E, P0ABP =   λ1 . . . λn   , λi > 0. §±P 0ABP = (P 0AP)(P −1BP) = P −1BP =   λ1 . . . λn   , λi > 0. BAäåu0. ø©5⇐ d˛y²å. ~5.25 (1) Aè¢È°› ,Bè½ ,KABAäè¢Í. (2) Aè¢å_› , K3› Q9½› B ¶A = QB. y² (1) œèBè½› ,3C,¶B = C 2 ,ÖC 0 = C,§±AB = AC2 = C −1 (CAC0 )C.qCAC0è È° ,ŸAäè¢Í,œ C −1 (CAC0 )CAäè¢,=ABAäè¢Í. (2) œèAè¢å_› , §±A0Aè½› , œd3½› B¶A0A = B2 , =B−1A0AB−1 = E. œèB−1 = (B−1 ) 0 , §±(AB−1 ) 0 (AB−1 ) = E. -Q = AB−1 , KQ0Q = E, u¥A = QB. 1 10 ê