例5.26设A,B为实对称矩阵，A为正定的，求证：存在可逆矩阵P,使PAP,PBP为对角形. 证明因为A正定，所以有可逆阵Q使QAQ=E,又QBQ仍为对称阵，从而存在正交阵T使T"(QBQ)T为 对角阵.令P=OT则PAP=TET=E,而PBP为对角形， 例5.27设A为阶正定阵，证明：存在一个上三角形T,使A=TT A 证明因为A是正定的，故存在一个特殊的上三角形阵Q,使QAQ- ,入>0，所以4= Q-1.令T= Q-1,则A=T'T,T为上三 角形阵 例5.28设A,∑∈Mn(R),即均为n阶实矩阵又A为对称的，∑为正定的，则存在S及D=dig(A,…,An) ≥…≥X,使A=SDS,∑=SS 证明由于∑正定，故∑=CC".令W=C-1A(C-1,则存在正交阵T,使T'WT 里≥2≥…≥m,再令S=CT,则SS=CTT'C=∑设D= 所以W=TDT 故A=CwC'=CTDT'C=SDS 例5.29设A,B,∑∈Mn(),且均为对称矩阵，又A为半正定阵，∑正定，若S=A∑B为反对称矩阵，则S 证明因为∑正定，故∑-正定，因而存在P使得∑1=PPA=PDP,D= ,A≥ 之之所以s=PDPP-PB=PDP1B.又S=-8因此-BP DP=P'D(P)-1B. 故PD(P'-1B+BP DP=0,因而DP+(PBP-D=0.设(PTBP-1=b入所以+ A)b-0又≥0，若入+入-0，则A-入-0，因此入b,-入，若-0，则也有Ab, A,故D(P)-1BP-1=(P)-1BP-1D.所以D(P")-1BP-1=0,进而PD(P"-1B=0,故S=0. 例5.30求证：实对称矩阵A为不定的充要条件为下列两个条件中至少一个成立.()有一个偶数阶主子 式等于负数（仙）有两个奇数阶主子式一为正数，一为负数 证明必要性一设A的所有偶数阶主子式≥0，若所有的奇数阶主子式都≥0，则A为半正定，矛盾.若所有 的奇数阶主子式<0，这时-A为半正定，所以A为半负定，矛盾.充分性←若有一个偶数阶主子式为负数，不 妨设A=a,ln,n为偶数，则存在正交阵T,使T'AT ,因而存在，使入>0，存在j使入，< 0,故A为不定的.若有两个奇数阶主子式一个为正数，另一个为负数，设41为奇数阶主子式，而A>0,故 存在正交阵工使 T14= 故存在，使得X>0.因而适当取X,可使X'AX=>0.设42为奇数阶 第11页~5.26 A, Bè¢È°› ,Aè½,¶y:3å_› P, ¶P 0AP, P0BPèÈ/. y² œèA½,§±kå_ Q¶Q0AQ = E,qQ0BQEèÈ° ,l 3 T¶T 0 (Q0BQ)Tè È .-P = QT,KP 0AP = T 0ET = E, P 0BPèÈ/. ~5.27 Aèn½ ,y²:3òá˛n/T,¶A = T 0T. y² œèA¥½,3òáAœ˛n/ Q,¶Q0AQ =   λ1 . . . λn   , λi > 0, §±A = (Q0 ) −1   √ λ1 . . . √ λn     √ λ1 . . . √ λn   Q−1 . -T =   √ λ1 . . . √ λn   Q−1 ,KA = T 0T, Tè˛n / . ~5.28 A,P ∈ Mn(R),=˛èn¢› .qAèÈ°, Pè½,K3S9D = diag(λi , · · · , λn), λ1 ≥ · · · ≥ λn, ¶A = SDS0 , P = SS0 . y² duP½, P = CC0 . -W = C −1A(C 0 ) −1 ,K3 T,¶T 0W T =   λ1 . . . λn   ,˘ pλ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn, 2-S = CT,KSS0 = CT T0C 0 = P. D =   λ1 . . . λn  , §±W = T DT0 . A = CW C0 = CT DT0C 0 = SDS0 . ~5.29 A, B,P ∈ Mn(R),Ö˛èÈ°› ,qAèå½ , P½,eS = A PBèáÈ°› ,KS = 0. y² œè P½, P−1½,œ 3P¶ P−1 = P 0P, A = P 0DP, D =   λ1 . . . λn   , λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λn,§±S = P 0DP · P −1 (P 0 ) −1B = P 0D(P 0 ) −1B.qS 0 = −S, œd−BP −1DP = P 0D(P 0 ) −1B, P 0D(P 0 ) −1B + BP −1DP = 0, œ D(P 0 ) −1 + (P 0 ) −1BP −1D = 0. (P 0 ) −1BP −1 = (bij ), §±(λi + λj )bij = 0.qλi ≥ 0, eλi + λj = 0, Kλi = λj = 0, œdλibij = λj bij .ebij = 0,Kèkλibij = λj bij ,D(P 0 ) −1BP −1 = (P 0 ) −1BP −1D. §±D(P 0 ) −1BP −1 = 0, ? P 0D(P 0 ) −1B = 0, S = 0. ~5.30 ¶y:¢È°› Aèÿ½øá^áèe¸á^á•ñò᧷.(i) kòáÛÍÃf ™uKÍ.(ii) k¸á¤ÍÃf™òèÍ,òèKÍ. y² 7á5⇒ A§kÛÍÃf™≥ 0,e§k¤ÍÃf™—≥ 0,KAèå½,gÒ.e§k ¤ÍÃf™< 0,˘û−Aèå½,§±AèåK½,gÒ. ø©5⇐ ekòáÛÍÃf™èKÍ,ÿ î|A| = |aij |n, nèÛÍ,K3 T,¶T 0AT =   λ1 . . . λn   , œ 3i,¶λi > 0,3j¶λj < 0,Aèÿ½. ek¸á¤ÍÃf™òáèÍ,,òáèKÍ, |A1|è¤ÍÃf™, A1 > 0, 3 T1¶ T 0 1AT1 =   λ1 . . . λn   , 3i,¶λi > 0.œ ·X,å¶X0AX = λi > 0. |A2|è¤Í 1 11 ê