第一章线性赋范空间 本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识 正如前言中所提到的,泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上,一种是 代数结构即线性结构,另一种是拓扑(本书中体现为度量)结构.本章将首先介 绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统,讨论它 们之间的相互关系;然后给出某些经典的赋范空间的例子;在此基础上着重叙述 度量空间的两个重要概念一一完备性和紧性以及它们的某些应用 第1讲线性空间 教学目的:掌握线性空间的定义和基本结构性质。 讲解要点 1了解线性空间的公理体系,认识线性空间的广泛性。 掌握线性无关与基底的概念,弄清这一概念与线性代数中有限维 空间相应概念的联系与区别 3了解凸包与张成的子空间的概念与属性 我们以φ代表标量域,即实数域R或复数域C 定义1设X是某个集合,其中规定了两种运算(“加法”与“数乘”),使得 (I)X关于加法构成交换群.即ⅵx,y∈X,存在u∈X,称u为x与y之和: l=x+y.满足 (1)x+y=y+x (2)(x+y)+=x+(y+) (3)存在0∈X使得任意的x∈X,x+0=x (4)对于每个x∈X,存在x∈X使得x+x'=0.记x'=-x,称x是x的负元 (Ⅱ)数乘运算可行.即vx∈X,a∈④,存在v∈X,称v为a与x的积:v=ax.满 足a,B∈φ,xy∈X (1)1x第一章 线性赋范空间 本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识． 正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是 代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构．本章将首先介 绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它 们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述 度量空间的两个重要概念——完备性和紧性以及它们的某些应用． 第 1 讲 线性空间 教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。 讲解要点： 1 了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。 2 掌握线性无关与基底的概念，弄清这一概念与线性代数中有限维 空间相应概念的联系与区别。 3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 我们以Φ 代表标量域，即实数域 R 或复数域C ． 定义 1 设 X 是某个集合，其中规定了两种运算（“加法”与“数乘”），使得 （Ⅰ） X 关于加法构成交换群．即 ∀x, y∈ X ，存在 u ∈ X ，称 u 为 x 与 y 之和： u = x + y ．满足 （1） x + y = y + x ． （2） ) (x + y) + z = x + ( y + z ． （3） 存在0∈ X 使得任意的 x∈ X ， x + 0 = x ． （4） 对于每个 x ∈ X ，存在 x′∈ X 使得 x + x′ = 0 ．记 x′ = −x ，称 x′是 x 的负元． （Ⅱ） 数乘运算可行．即∀x∈ X ，α ∈Φ ，存在v ∈ X ，称v 为α 与 x 的积：v =αx ．满 足 α,β ∈Φ ， x, y∈ X ， （1） 1x = x