(2)a(x)=(a/)x, (3)a(x+y)=a+ary, (a+B)x=a+ Bx 则X称为线性空间或向量空间,其中的元称为向量 当Φ=R时,称X是实线性空间. 当Φ=C时,称X为复线性空间 线性空间的子集合E,若对于同样的标量域构成线性空间,则称E是X的线性子空 间.显然E是X的线性子空间当且仅当Vx,y∈E,a,B∈①则ax+py∈E 我们采用以下记号:当x∈X,E1,E2CX,a∈时,记 aE1={ax:x∈E1}, E1+E2={x+x2:x∈E1,x2∈E2} 称cE是E的倍集,称E+E2是E1,E2的(线性)和集 注意,应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开 来.就运算性质来说,一般地,当EcX时,2EcE+E,其中的包含关系可能是严格的.此 外,对于ⅤEcX,一E有明确的意义;若E≠⑧,则E-E≠⑧等等. 线性空间X中的元素x1…,x称为是线性无关的,若Va1…,an∈中,当 a1x+…+anxn=0 时a1=…=an=0.X的子集合E称为是线性无关集,若E中任意有限多个元素都线性无 关.不是线性无关的集合称为是线性相关的.若E线性无关并且 span E=X,则称E是X的 基底—— Hamel基.此时若E仅由有限个元素x1,…xn组成,则称X是n维空间,记为 dimX=n.若E由无穷多个元素构成,称X为无穷维的,记为dmX=∞,当X=0}时, 例1n维空间Φ” X中的每个元是一个n数组x=(x1…xn),x∈④,1≤i≤n,定义 yu),（2） α(βx) = (αβ )x， （3） α(x + y) = αx +αy ， (α + β)x = αx + βx ． 则 X 称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量． 当Φ = R 时，称 X 是实线性空间． 当 Φ = C 时，称 X 为复线性空间． 线性空间的子集合 E ，若对于同样的标量域构成线性空间，则称 E 是 X 的线性子空 间．显然 E 是 X 的线性子空间当且仅当∀x, y ∈ E ，α,β ∈Φ 则αx + βy∈ E ． 我们采用以下记号：当 x∈ X ， E1,E2 ⊂ X ，α ∈Φ 时，记 { : } 1 1 1 E1 x + E = x + x x ∈ ， { : } 1 1 1 E1 aE = ax x ∈ ， { : , } 1 2 1 2 1 1 2 E2 E + E = x + x x ∈ E x ∈ ． 称αE 是 E 的倍集，称 E1 + E2 是 E1 ， E2 的（线性）和集． 注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开 来．就运算性质来说，一般地，当 E ⊂ X 时，2E ⊂ E + E ，其中的包含关系可能是严格的．此 外，对于∀E ⊂ X ， −E 有明确的意义；若 E ≠ ∅ ，则 E − E ≠ ∅ 等等． 线性空间 X 中的元素 n x , , x 1 " 称为是线性无关的，若∀a1,",an ∈Φ ，当 0 a1x1 +"+ an xn = 时 0 a1 ="= an = ． X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无 关．不是线性无关的集合称为是线性相关的．若 E 线性无关并且span E = X ，则称 E 是 X 的 基底——Hamel 基．此时若 E 仅由有限个元素 n x , , x 1 " 组成，则称 X 是 n 维空间，记为 dim X = n．若 E 由无穷多个元素构成，称 X 为无穷维的，记为dim X = ∞ ．当 X = {0}时， 记dim X = 0 ． 例 1 n 维空间 n Φ ． X 中的每个元是一个 n 数组 ( , , ) 1 n x = x " x ，∀xi ∈Φ ，1≤ i ≤ n ，定义 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 n 1 n 1 1 n n x " x + y " y = x + y " x + y