a(x12…,xn)=(ax1,…,axn),(a∈①) 这些n数组构成线性空间,其维数为n.即dimX=n 例2无穷序列空间④° x中的每个元都是一个无穷序列x=(x1,x2,…),xn∈,定义 (x1,x2…)+(1,y2…)=(x1+y1x2+y2…) x1,x2,…)=(ax,ax2…),(a∈Φ) 则无穷序列空间是线性空间,其维数是无穷的,即dmX=∞ 例3函数空间 设Ω为任一点集,X是在Ω2上定义的函数全体,规定∫=f(r),g=g()时, (f+g)(1)=f(1)+g(1) (a0)(1)=af(1),(a∈) 容易验证X是线性空间 今后对于有限维空间,无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算.许多 在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间 注意:定义1与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的,但是其内涵要比线性代数中 广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为n数组。这一点很重要,例如在线性代数 中有一个结论:任何n+1个向量必线性相关。对于现在的空间,这一结论却不必成立 利用Zomn引理可以证明:任一线性空间必存在极大线性无关集合,这一集合即是X的 Hamel基.换句话说,任一线性空间必存在 Hamel基 凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集.X的子集E称为是凸的,若vx,y∈E 0≤r≤1,rx+(1-r)y∈E.对于任一集合EcX,记 E-1E201=12y 称coE是E的凸壳.其中形如∑rx的元素称为x1,…,x的凸组合.记 span E={2x:x∈E,a∈①m=12 称 span E是由E张成的子空间,其中形如∑ax的元素称为x,…,x的线性组合 凸集、coE和 span E都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解( , , ) ( , , ) 1 n 1 n a x " x = ax " ax ，(a∈Φ ) ． 这些 n 数组构成线性空间，其维数为 n ．即dim X = n． 例 2 无穷序列空间 ∞ Φ ． X 中的每个元都是一个无穷序列 ( , , ) x = x1 x2 " ， xn ∈Φ ，定义 ( , , ) ( , , ) ( , , ) x1 x2 " + y1 y2 " = x1 + y1 x2 + y2 " ， ( , , ) ( , , ) a x1 x2 " = ax1 ax2 " ， ) (a∈Φ ， 则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即dim X = ∞ ． 例 3 函数空间． 设Ω 为任一点集， X 是在Ω 上定义的函数全体，规定 f = f (t) ， g = g(t) 时， ( f + g)(t) = f (t) + g(t) ， (af )(t) = af (t) ，(a∈Φ ) ． 容易验证 X 是线性空间． 今后对于有限维空间，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算．许多 在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。 注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中 广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n 数组。这一点很重要，例如在线性代数 中有一个结论：任何 n +1个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。 利用 Zorn 引理可以证明： 任一线性空间必存在极大线性无关集合，这一集合即是 X 的 Hamel 基．换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基． 凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集． X 的子集 E 称为是凸的，若∀x, y ∈ E ， 0 ≤ r ≤1， rx + (1− r) y ∈ E ．对于任一集合 E ⊂ X ，记 1 1 co : , 0, 1, 1, 2, n n ii i i i i i E rx x E r r n = =   = ∈ ≥ ==     ∑ ∑ " ， 称co E 是 E 的凸壳．其中形如 ∑= n i i i r x 1 的元素称为 n x , , x 1 " 的凸组合．记       = ∑ ∈ ∈ = = span : , , 1,2," 1 E a x x E a n i i n i i i Φ ， 称span E 是由 E 张成的子空间，其中形如 ∑= n i i i a x 1 的元素称为 n x , , x 1 " 的线性组合． 凸集、co E 和span E 都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解