命题1 (1)coE是X中的凸集,它是X中包含E的所有凸集的交集 (2) span E是X的线性子空间,它是X中包含E的所有线性子空间的交集 证明这里仅证(1).(2)的证明更简单 1°coE是凸集.实际上vxy∈coE,不妨设 x=∑rx,y=∑sy 其中x,y∈E,20,S20,∑=1,∑S=1.对于任意的r,0≤r≤1, rx+(1-r)y=∑mx+∑(1-)y, 由于∑m +点0 r)s可+(1-r)=1:上式是x,y的凸组合,由coE的定义知道 x+(1-r)y∈coE.故coE是凸集 2°对于任一凸集A,A中任意n个元素的凸组合仍在A中 用数学归纳法,当n=2时,只要x1,x2∈A,F+F2=1,>0,则r+E2x2∈A,这由 定义直接得出.再设n=k时成立,我们证明n=k+1时也成立.实际上若x1…,x,x4∈A >0,∑=1,注意,一=1,由归纳假设 从而(1-1,)x+,,1=∈A 3°设{E2∈A}是包含E的全体凸集,由EcE2,显然 CO ECcO E2,由2 CoE2=E2,从而coE∈∩E2,另一方面由1°,coE是包含E的凸集,从而对于某个 ∈1,coE=E,于是 EnE4∩(∩E)=∩E2 总之,coE=∩E2 思考题 1、设X是线性空间,x∈X,k∈Φ,k≠0,证明 x±X=X,X±X=X,kX=X命题 1 （1） co E 是 X 中的凸集，它是 X 中包含 E 的所有凸集的交集． （2） span E 是 X 的线性子空间，它是 X 中包含 E 的所有线性子空间的交集． 证明 这里仅证（1）．（2）的证明更简单． 1°co E 是凸集．实际上∀x, y ∈co E ，不妨设 ∑= = n i i i x r x 1 ， ∑= = m j j j y s y 1 ， 其中 xi , y j ∈ E ， ri ≥ 0， ≥ 0 j s ， 1 1 ∑ = = n i ir ， 1 1 ∑ = = m j j s ．对于任意的 r ，0 ≤ r ≤1， ∑ ∑ = = + − = + − m j j j n i i i rx r y rr x r s y 1 1 (1 ) (1 ) ， 由 于 1 (1 ) (1 ) 1 1 ∑ + ∑ − = + − = = = rr r s r r m j j n i i ；上式是 i j x , y 的凸组合，由 co E 的定义知道 rx + (1− r) y ∈co E ．故co E 是凸集． 2°对于任一凸集 A ， A 中任意 n 个元素的凸组合仍在 A 中． 用数学归纳法，当 n = 2 时，只要 x1, x2 ∈ A ， r 1 + r2 =1， ri > 0 ，则 r 1x1 + r2 x2 ∈ A，这由 定义直接得出． 再设 n = k 时成立，我们证明 n = k +1时也成立．实际上若 x1,", xk , xk +1 ∈ A ， ri > 0 ， 1 1 1 ∑ = + = k i ir ，注意 1 1 1 1 = − ∑= + k i k i r r ，由归纳假设 A r r x x k i k i i ∈ − = ∑=1 +1 1 ， 从而 r x r x r x A k i − k + k k = ∑ i i ∈ + = + + + 1 1 1 1 1 (1 ) ． 3°设 { ,λ Λ} Eλ ∈ 是包含 E 的全体凸集，由 E ⊂ Eλ ，显然 E Eλ co ⊂ co ．由 2°， Eλ = Eλ co ，从而 λ λ Λ E E ∈ co ⊂ ∩ ． 另一方面由 1°，co E 是包含 E 的凸集，从而对于某个 λ0 ∈ Λ ， 0 co E = Eλ ，于是 λ λ Λ λ λ λ E Eλ Eλ E E ≠ ∈ co = ⊃ ∩ ( ∩ ) = ∩ 0 0 0 ． 总之， λ λ Λ E E ∈ co = ∩ ． 思考题 1、设 X 是线性空间， x Xk k ∈ ∈Φ ≠ , , 0, 证明 x ±= ±= = X X X X X kX X ,