精品课程《数学分析》课外训练方案 定理2设函数f(x,y)在矩形域{,b,c,d]有定义,且f(x,y)关于y的偏导数y在 [a,b;c,d]上连续,则o(y)在[c,d]上可微,并且 定理3设函数f(x,y)以及∫y(x,y)都在矩形域[abc,d]连续,而函数a(y)与b(y) 以及它们的导数都在[c,d]上连续,并且当c≤y≤d时,a≤a(y)≤b,a≤b(y)≤b, 则函数o()=[f(x,y)d在区间上cd]可微,并且 p(y)=L/(, y)dy=f[b(y), y]b(y)-fa(y),y]a'(y) 基本方法和基本要求 1、会用定理1和定理2计算参变量积分 2、会用定理3计算非正常参变量积分并会计算某些积分的导数。 三、典型例题 例1计算J dx,0<a<b<+∞ 解设g(x)= 知g(x)=xd。于是J(a,b)=(|x'dhy)dtx,因为 f(x,y)=x在矩形域[0,1;a,b上连续,由定理1.1,有 fordy)dx= 例2计算J=2a2dx 1-a3y2cos2x,其中l<1精品课程《数学分析》课外训练方案 定理 2 设函数 f (x, y) 在矩形域[a,b;c, d] 有定义，且 f (x, y) 关于 y 的偏导数 y f ∂ ∂ 在 [a,b;c, d] 上连续，则ϕ( y) 在[c, d] 上可微，并且 ∫ ∂ ∂ = b a dx y f x y y ( , ) ( ) / ϕ 定理 3 设函数 以及 都在矩形域 连续，而函数 与 以及它们的导数都在 上连续，并且当 f (x, y) ( , ) / f x y y [a,b;c, d] a( y) b( y) [c, d] c ≤ y ≤ d 时， a ≤ a( y) ≤ b ， ， 则函数 在区间上 可微，并且 a ≤ b( y) ≤ b ∫ = ( ) ( ) ( , ) a y ϕ y f x y dy b( y) b( y) [c, d] ( ) ( , ) [ ( ), ] ( ) [ ( ), ] ( ) / / ( ) / y f x y dy f b y y b y f a y y a y a y = y = − ∫ ϕ 。 二、基本方法和基本要求 1、会用定理 1 和定理 2 计算参变量积分； 2、会用定理 3 计算非正常参变量积分并会计算某些积分的导数。 三、典型例题 例 1 计算 dx x x x J b a ∫ − = 1 0 ln ，0 < a < b < +∞ 。 解 设 x x x g x b a ln ( ) − = ， 知 = ∫ 。于是 b a y g(x) x dy J (a,b) = x dy dx b a y ( ) 1 ∫0 ∫ ,因为 在矩形域 上连续，由定理 1.1，有 y f (x, y) = x [0,1;a,b] J (a,b) = 1 1 ( ) ln 1 0 + + = ∫ ∫ a b x dy dx b a y 。 例 2 计算 ∫ ∫ − = 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 2 a y x dy J a dx π ，其中 a < 1。 2