精品课程《数学分析》课外训练方案 解由于被积函数 在矩形域[0,0,1上连续,根据定理1.1,有 1-ay cosx J=2 cos x dx 注意到 从而 COS x n arcsin o 1-a y cos x 例3设函数叫(x)=Cm.e,求o() 解g(x) 1-teri+evl-cos'x(-sinx/ -e-vi-sinT COS x sInx.e cosx.e 四、自测题 1.求下列极限 ()lm、+a:()lmx2 cos ax dx;)lm「" 2.求下列积分 (1) In(a'-sin'xkdx(a>1) (2) In(1-2a cosx+axx(lak) (3) In(a'sin x+b- cos xdx(a, b*0) arctan(a tan x) dx (ak 1) tan x 6-x (a>0,b>0) In x 3.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性精品课程《数学分析》课外训练方案 解 由于被积函数 a y x 2 2 2 1 cos 1 − 在矩形域 ;0,1] 2 [0, π 上连续，根据定理 1.1，有 ∫ ∫ − = 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 2 a y x dy J a dx π ∫ ∫ − = 2 0 2 2 2 1 0 1 cos 2 π a y x dx a dy 注意到 2 2 2 0 2 2 2 1 a y cos x 2 1 a y dx − = − ∫ π π ，从而 = − = ∫ ∫ 1 0 2 2 2 2 0 1 cos 2 a y x dy J a dx π ∫ − 1 0 2 2 2 1 2 a y a π = π arcsina 。 例 3 设函数 ∫ − = x x x t x e cos sin 1 2 ϕ( ) ，求 ( ) 。 / ϕ x 解 ( ) = / ϕ x t e e x e x x x x x x x x t 1 ( sin ) cos 2 2 2 1 cos 1 sin cos sin 2 1− − − − + − − ∫ = x x x x x x x t t e x e x e 2 2 2 1 cos 1 sin cos sin 2 1 1 sin cos − − − − − ⋅ − ⋅ ∫ 。 四、自测题 1． 求下列极限 (1) 1 2 2 0 1 lima x a dx → − + ∫ ； (2) 2 2 0 0 lim cos a x ax dx → ∫ ； (3) 1 2 2 0 lim 1 a a a dx x a + → + + ∫ 2．求下列积分 (1) 2 2 2 0 ln(a sin x)dx (a 1) π − > ∫ ； (2) ； 2 0 ln(1 2a x cos a )dx (|a | 1) π − + ∫ < (3) 2 2 2 2 2 0 ln(a x sin b cos x)dx (a,b 0) π + ≠ ∫ ； (4) 2 0 arctan( tan ) (| | 1) tan a x dx a x π < ∫ ； (5) 1 0 ( 0, 0) ln b a x x dx a b x − > > ∫ 。 3．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： 3