银川能源学院《高等数学》救案 第三章徽分中值定理与导数的应用 (3f"(x)=6(x2-1)5x2-1). (4)因"(0)=6>0，所以f(x)在x=0处取得极小值，极小值为0)=0. (⑤)因∫"(-1)=∫"(1)=0，用定理3无法判别.因为在-1的左右邻域内 ∫'x)<0,所以x)在-1处没有极值；同理，x)在1处也没有极值. 二、最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中，常常会遇到这样一类问题：在 一定条件下，怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高” 等问题，这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数） 的最大值或最小值问题， 极值与最值的关系 设函数x)在闭区间[a,b]上连续，则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得，如果最大值不在区间的端 点取得，则必在开区间（α，b)内取得，在这种情况下，最大值一定是函数的极 大值.因此，函数在闭区间[α，b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数 在区间端点的函数值中最大者.同理，函数在闭区间[α，b]上的最小值一定是 函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者」 最大值和最小值的求法 设x)在(a,b)内的驻点和不可导点（它们是可能的极值点）为x1,2,···, Xn, 则比较 a),x,·,fxn),b) 的大小，其中最大的便是函数x)在[a,]上的最大值，最小的便是函数x)在 [a,b]上的最小值 例3求函数x)=r2-3x+2在[-3,4]上的最大值与最小值. 解f=23+2,x3小2， 】-x2+3x-2 x∈(12) f=2-3,xe(3U24 -2x+3x∈(L2) 在(-3,4内)的驻点为x=；不可导点为1和x2 由于-3)=20,1=0，f房=子，2)=0,4)=6，比较可得x)在x=-3处取得 它在[-3,4]上的最大值20，在x=1和x=2处取它在[-3,4]上的最小值0. 例4工厂铁路线上AB段的距离为100km.工厂C距A处为20km,AC 垂直于AB.为了运输需要，要在AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路 己知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3：5.为了使货 物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？ 100km B 20km 解设AD=x(km),则DB=100-x, 第15页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 15 页 (3)f (x)6(x 2 1)(5x 2 1) (4)因 f (0)60 所以 f (x)在 x0 处取得极小值 极小值为 f(0)0 (5)因 f (1)f (1)0 用定理 3 无法判别 因为在1 的左右邻域内 f (x)0 所以 f(x)在1 处没有极值 同理 f(x)在 1 处也没有极值 二、最大值最小值问题 在工农业生产、工程技术及科学实验中 常常会遇到这样一类问题 在 一定条件下 怎样使“产品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高” 等问题 这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数） 的最大值或最小值问题 极值与最值的关系 设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 则函数的最大值和最小值一定存在 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得 如果最大值不在区间的端 点取得 则必在开区间(a b)内取得 在这种情况下 最大值一定是函数的极 大值 因此 函数在闭区间[a b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数 在区间端点的函数值中最大者 同理 函数在闭区间[a b]上的最小值一定是 函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者 最大值和最小值的求法 设 f(x)在(a b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 x1 x2     xn 则比较 f(a) f(x 1)     f(x n) f(b) 的大小 其中最大的便是函数 f(x)在[a b]上的最大值 最小的便是函数 f(x)在 [a b]上的最小值 例 3 求函数 f(x)|x 2 3x2|在[3 4]上的最大值与最小值 解              3 2 (1, 2) 3 2 [ 3,1] [2, 4] ( ) 2 2 x x x x x x f x              2 3 (1, 2) 2 3 ( 3,1) (2, 4) ( ) x x x x f x 在(3 4)内 f(x)的驻点为 2 3 x  不可导点为 x1 和 x2 由于f(3)20 f(1)0 4 1 ) 2 3 f (   f(2)0 f(4)6 比较可得f(x)在 x3处取得 它在[3 4]上的最大值 20 在 x1 和 x2 处取它在[3 4]上的最小值 0 例 4 工厂铁路线上 AB 段的距离为 100km 工厂 C 距 A 处为 20km AC 垂直于 AB 为了运输需要 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修筑一条公路 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5 为了使货 物从供应站 B 运到工厂 C 的运费最省 问 D 点应选在何处？ 解 设 ADx (km) 则 DB100x  D C 20km A B 100km D C 20km A B 100km