银川能源学院《高等数学》教亲 第三章徽分中值定理与导数的应甩 (2)令f'(x)=0,得驻点x=1;=-1为x)的不可导点： (3)列表判断 x (-0,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+0) f'(x) × 不可导 0 × fx) 0 -34 (4)极大值为-1)=0，极小值为f0)=-34 定理3（第二种充分条件）设函数x)在点0处具有二阶导数且f'(xo)=0, f"(xo≠0，那么 (1)当f"(xo)<0时，函数x)在xo处取得极大值； (I)当f"(xo)>0时，函数x)在xo处取得极小值； 证明在情形(1)，由于f"(xo)<0,按二阶导数的定义有 f)=m-f2<0. x→6X-X0 根据函数极限的局部保号性，当x在xo的足够小的去心邻域内时， f(x)-f(x0 x-X0 但f'(xo)=0,所以上式即 f田<0. x-X0 从而知道，对于这去心邻域内的x来说，f'(x)与x-o符号相反.因此，当 x-xo<0即x<xo时，f'(x)>0;当x-xo>0即xxo时，f'(x)<0.根据定理2，x)在点 xo处取得极大值. 类似地可以证明情形(2). 简要证明：在情形(1)，由于"(xo)<0,∫"(xo)=0,按二阶导数的定义有 )=lm=lim f(0 X-%0x-60 根据函数极限的局部保号性，在的某一去心邻域内有 f因<0 x-0 从而在该邻域内，当x<o时，f'(x)>0;当x心xo时，f'(x)<0.根据定理2，x) 在点xo处取得极大值 定理3表明，如果函数x)在驻点xo处的二导数f"(xo)0,那么该点x0 一定是极值点，并且可以按二阶导数∫"(xo)的符来判定xo)是极大值还是极 小值.但如果f"(xo)=0,定理3就不能应用. 讨论：函数fx)上-x,gx=x3在点x=0是否有极值？ 提示：f'(x)=4x3,f'(0)=0;f"(x)=12x2,f"(0)=0.但当x<0时f'(x)<0,当x>0 时"(x)>0,所以O)为极小值. g'x=3x2,g'(0)=0;g"(x)=6x,g"(0)=0.但g(0)不是极值. 例2求函数x)=(x-1)3+1的极值， 解(1f'(x=6x(x2-1)2. (2)令f"(x)=0,求得驻点x1=-1,x2=0,x3=1. 第14页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 14 页 (2)令 f (x)0 得驻点 x1 x1 为 f(x)的不可导点 (3)列表判断 x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 ) f (x)  不可导  0  f(x) ↗ 0 ↘ 3 3 4 ↗ (4)极大值为 f(1)0 极小值为 3 f (1)3 4  定理3 (第二种充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且f (x0)0 f (x0)0 那么 (1)当 f (x0)0 时 函数 f(x)在 x0 处取得极大值 (1)当 f (x0)0 时 函数 f(x)在 x0 处取得极小值 证明 在情形(1) 由于 f (x0)0 按二阶导数的定义有 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0         x x f x f x f x x x  根据函数极限的局部保号性 当 x 在 x0 的足够小的去心邻域内时 0 ( ) ( ) 0 0      x x f x f x  但 f (x0)0 所以上式即 0 ( ) 0    x x f x  从而知道 对于这去心邻域内的 x 来说 f (x)与 xx0 符号相反 因此 当 xx00 即 xx0 时 f (x)0 当 xx00 即 xx0 时 f (x)0 根据定理 2 f(x)在点 x0 处取得极大值 类似地可以证明情形(2) 简要证明 在情形(1) 由于 f (x0)0 f (x0)0 按二阶导数的定义有 0 ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0             x x f x x x f x f x f x x x x x  根据函数极限的局部保号性 在 x0 的某一去心邻域内有 0 ( ) 0    x x f x  从而在该邻域内 当 xx0 时 f (x)0 当 xx0 时 f (x)0 根据定理 2 f(x) 在点 x0 处取得极大值 定理 3 表明 如果函数 f(x)在驻点 x0 处的二导数 f (x0) 0 那么该点 x0 一定是极值点 并且可以按二阶导数 f (x0)的符来判定 f(x0)是极大值还是极 小值 但如果 f (x0)0 定理 3 就不能应用 讨论 函数 f (x)x 4  g(x)x 3 在点 x0 是否有极值？ 提示 f (x)4x 3  f (0)0 f (x)12x 2  f (0)0 但当 x0 时 f (x)0 当 x0 时 f (x)0 所以 f(0) 为极小值 g (x)3x 2  g (0)0 g (x)6x g (0)0 但 g(0)不是极值． 例 2 求函数 f(x)(x 2 1)3 1 的极值 解 (1)f (x)6x(x 2 1)2  (2)令 f (x)0 求得驻点 x11 x20 x31