银川能源学院《高等数学》救集 第三章徽分中值定理与导数的应用 1就是说：可导函数x)的极值点必定是函数的驻点.但的过来，函数x)的 驻点却不一定是极值点， 考察函数x)=x在x=0处的情况 定理2（第一种充分条件）设函数x)在点xo的一个邻域内连续，在xo的 左右邻域内可导. (1)如果在xo的某一左邻域内f'(x>0,在o的某一右邻域内f'(x)<0,那 么函数x)在xo处取得极大值； (2)如果在o的某一左邻域内f'(x)<0,在x的某一右邻域内f"'(x)>0,那 么函数x)在x处取得极小值： (3)如果在xo的某一邻域内∫'(x)不改变符号，那么函数x)在x0处没有极 值 定理2'（第一种充分条件）设函数fx)在含xo的区间(a,b)内连续，在(a, x0)及(xo,b)内可导 (1)如果在(a,xo)内f'(x)>0,在(xo,b)内f"(x)<0,那么函数x)在x0处取得 极大值； (2)如果在(a,x0)内f'(x)<0,在(0，b)内f'(x>0,那么函数x)在x0处取得 极小值； (3)如果在(a,o)及(o,b)内f'(x)的符号相同，那么函数x)在和处没有极 值 定理2"（第一充分条件）设函数x)在xo连续，且在0的某去心邻域(xo-d xo人U(x0,xo+)内可导 (1)如果在(xo-6xo)内f'(x)>0,在(xo,xo+)内f'(x)0,那么函数x)在x0 处取得极大值 (2)如果在(g-6xo)内f'(x)<0,在(xo,xo+内f'(x)>0,那么函数x)在x0 处取得极小值： (3)如果在(xo-6xo)及(xo,xo+内f'(x)的符号相同，那么函数x)在处 没有极值. 定理2也可简单地这样说：当x在xo的邻近渐增地经过和时，如果∫'(x) 的符号由负变正，那么x)在x和处取得极大值；如果f'(x)的符号由正变负，那 么x)在xo处取得极小值；如果f'(x)的符号并不改变，那么x)在x和处没有极 值（注：定理的叙述与教材有所不同）. 确定极值点和极值的步骤： (1)求出导数f'(x); (2)求出x)的全部驻点和不可导点； (3)列表判断（考察f'(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况， 以便确定该点是否是极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数 值是极大值还是极小值)； (4)确定出函数的所有极值点和极值 例1求函数f(x)=(x-4)x+P的极值 解(1)/x)在(-∞，+o)内连续，除=-1外处处可导，且 fa)=5r-」 3x+1 第13页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 13 页 １就是说 可导函数 f(x)的极值点必定是函数的驻点 但的过来 函数 f(x)的 驻点却不一定是极值点 考察函数 f(x)x 3 在 x0 处的情况 定理２(第一种充分条件)设函数 f(x)在点 x0 的一个邻域内连续 在 x0 的 左右邻域内可导 (1) 如果在 x0 的某一左邻域内 f (x)0 在 x0 的某一右邻域内 f (x)0 那 么函数 f(x)在 x0 处取得极大值 (2) 如果在 x0 的某一左邻域内 f (x)0 在 x0 的某一右邻域内 f (x)0 那 么函数 f(x)在 x0 处取得极小值 (3)如果在 x0的某一邻域内 f (x)不改变符号 那么函数 f(x)在 x0处没有极 值 定理２ (第一种充分条件)设函数 f(x)在含 x0 的区间(a, b)内连续 在(a, x0)及(x0, b)内可导 (1)如果在(a, x0)内 f (x)0 在(x0, b)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得 极大值 (2)如果在(a, x0)内 f (x)0 在(x0, b)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0处取得 极小值 (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f (x)的符号相同 那么函数 f(x)在 x0处没有极 值 定理 2(第一充分条件)设函数 f(x)在 x0连续 且在 x0的某去心邻域(x0 x0)(x0 x0)内可导 (1)如果在(x0 x0)内 f (x)0 在(x0 x0)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极大值 (2)如果在(x0 x0)内 f (x)0 在(x0 x0)内 f (x)0 那么函数 f(x)在 x0 处取得极小值 (3)如果在(x0 x0)及(x0 x0)内 f (x)的符号相同 那么函数 f(x)在 x0 处 没有极值 定理 2 也可简单地这样说 当 x 在 x0 的邻近渐增地经过 x0时 如果 f (x) 的符号由负变正 那么f(x)在x0处取得极大值 如果f (x)的符号由正变负 那 么 f(x)在 x0处取得极小值 如果 f (x)的符号并不改变 那么 f(x)在 x0处没有极 值 (注 定理的叙述与教材有所不同)  确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数 f (x) (2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点 (3)列表判断(考察 f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况 以便确定该点是否是极值点 如果是极值点 还要按定理 2 确定对应的函数 值是极大值还是极小值) (4)确定出函数的所有极值点和极值 例 1 求函数 3 2 f (x)(x4) (x1) 的极值 解(1)f(x)在( )内连续 除 x1 外处处可导 且 3 3 1 5( 1) ( )     x x f x 