银川能源学院《高等数学》教亲 第三章微分中值定理与导数的应用 第四节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 极值的定义： 定义设函数x)在区间(a,b)内有定义，x0∈(a,b).如果在xo的某一去心 邻域内有x)<xo),则称xo)是函数x)的一个极大值；如果在xo的某一去 心邻域内有x)>xo,则称xo)是函数x)的一个极小值 设函数x)在点xo的某邻域U(xo)内有定义，如果在去心邻域U(xo)内有 x)<xo)(或x)>xo), 则称xo)是函数x)的一个极大值（或极小值）. 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极 值点. 函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果几xo)是函数x)的一个极 大值，那只是就和附近的一个局部范围来说，xo)是x)的一个最大值；如果 就fx)的整个定义域来说，xo)不一定是最大值.关于极小值也类似. 极值与水平切线的关系：在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的， 但曲线上有水平切线的地方，函数不一定取得极值， 定理1（必要条件）设函数x)在点x0处可导，且在x0处取得极值，那么 这函数在x0处的导数为零，即f'(xo)=0. 证为确定起见，假定xo)是极大值（极小值的情形可类似地证明）.根 据极大值的定义，在和的某个去心邻域内，对于任何点x,x)<x)均成立 于是 当x<xo时 fx)-f-0, X-X0 因此 f'(xo)=lim f-fx220; x→x0 x-x 当x>0时 fx)-f<0, x-X0 因此 f(xo)=lim fx-fwl≤0； x→x0 x-0 从而得到 f'(o)=0. 简要证明：假定x)是极大值.根据极大值的定义，在x的某个去心邻 域内有x)Kxo).于是 f(xo)=f(xo)=lim f(x)-f(xo)z0, X→xn x-X0 同时 f(xo)=f (xo)=lim f(x)-f(s0, x→0x-% 从而得到f"(o)=0. 驻点：使导数为零的点（即方程f'(x)=0的实根）叫函数x)的驻点.定理 第12页银川能源学院《高等数学》教案 第三章 微分中值定理与导数的应用 第 12 页 第四节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 极值的定义 定义 设函数 f(x)在区间(a, b)内有定义 x0(a, b) 如果在 x0 的某一去心 邻域内有 f(x) f(x0) 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值 如果在 x0 的某一去 心邻域内有 f(x)f(x0) 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域 U(x0)内有定义 如果在去心邻域 U(x0)内有 f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0)) 则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值) 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极 值点 函数的极大值和极小值概念是局部性的 如果 f(x0)是函数 f(x)的一个极 大值 那只是就 x0 附近的一个局部范围来说 f(x0)是 f(x)的一个最大值 如果 就 f(x)的整个定义域来说 f(x0)不一定是最大值 关于极小值也类似 极值与水平切线的关系 在函数取得极值处 曲线上的切线是水平的 但曲线上有水平切线的地方 函数不一定取得极值 定理 1 (必要条件)设函数 f(x)在点 x0 处可导 且在 x0 处取得极值 那么 这函数在 x0 处的导数为零 即 f (x0)0 证 为确定起见 假定 f(x0)是极大值(极小值的情形可类似地证明) 根 据极大值的定义 在 x0 的某个去心邻域内 对于任何点 x  f(x)  f(x0)均成立 于是 当 x  x0 时 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x  因此 f (x0) 0 ( ) ( ) lim 0 0 0       x x f x f x x x  当 x  x0 时 0 ( ) ( ) 0 0    x x f x f x  因此 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0        x x f x f x f x x x  从而得到 f (x0)  0  简要证明 假定 f(x0)是极大值 根据极大值的定义 在 x0的某个去心邻 域内有 f(x) f(x0) 于是 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0           x x f x f x f x f x x x  同时 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0           x x f x f x f x f x x x  从而得到 f (x0)  0  驻点 使导数为零的点(即方程 f (x)  0 的实根)叫函数 f(x)的驻点 定理