变换或 Fourier级数法及复变函数论方法等来推求自然积分方 程,但殊途同归,对同一边值问题只能得到同一个自然积分方程 因此可以说,自然边界归化在各种边界归化中占有特殊的地位并 具有许多优越性。至于积分核的强奇异性今天已不成为困难。本 章给出了求解强奇异积分方程及计算强奇异积分的一些简单易行 的数值方法。通过分部积分将强奇异积分化为只有较低奇异性的 积分来处理则是另一类自然而适用的方法,自然积分算子产生光 滑性降阶即作为正数阶拟微分算子的特性恰好保证了积分方程的 解的很好的稳定性。 从数值计算的角度也将看到自然边界元方法的许多优点,如 刚度矩阵的对称正定性,近似解的稳定性,以及在处理无穷区域及 断裂区域时仍保持理想的精度,等等,特别是对于圆周边界的情 况,自然边界元刚度矩阵还有某种循环性,于是我们并不需要计算 全部矩阵系数,而只要计算大约半行系数就可以了,这样,与一般 边界元方法由于刚度矩阵系效计算的复杂性使得边界元降维的优 点在很大程度上被抵消不同,臼然边界元方法确实使计算量大为 减咸少 自然边界元方法也有其明显的局限性。其困难主要是解析上 的。因为对一般区域而言,Gren函数往往难以求得.其它可用 以求得自然积分方程的途径也有同样的局限性.因此我们仅对少 数典型区域应用自然边界元方法,而对一般区域则应用自然边界 元与有限元耦合法.其实,所有边界元方法都有局限性。与有 限元方法耦合对于所有边界元方法都是极其重要的.从这个观点 看,自然边界元方法的优越性就极为明显了,因为唯有自然边界元 与有限元的稠合是基于同一变分原理的自然而直接的耦合.这种 耦合综合了自然边界元方法与经典有限元方法的优点,既克服了 自然边界元方法对区域的局限性,又使经典有限元方法能适于 无界区域及裂缝区域。正如冯康教投所指出的,边界元方法应作 为有限元方法的一个组成部分,完全适合在有限元方法的框架内 发展(见[72]).这正是我们研究自然边界元方法的出发点