Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D Q. Dai. 2003 ∑|(t-从)≤CⅥt∈R 证:只证l=0时的情形 记g(t)=∑|v(t-k),显然g以1为周期。故 sup g(t)= sup g(t) t∈R 0<t<1 这时,由(10)有 sg(t)≤sp,∑(1+-A)-2≤∑(1+1|-1) 0<t<1 对应于连续小波变换的情形,我们有 定理5:设有展开式 f()=∑4k(),=的k()> 则∫为a-H6lder连续的,当且仅当 ld;, hI 证:设∫是a-H6lder连续的,则 14A=了( (f()-f(k2-)k(t) ∫|t-k-2-125(1+|2t-A)-2dt C·.2-(+a) (1+|+)-2at 反之,若(11)成立,则有Lecture Notes on Wavelets, Chapter 5, by D.Q. Dai, 2003 8 X k ¯ ¯ψ (l) (t − k) ¯ ¯ ≤ C, ∀t ∈ R. 证：只证l = 0时的情形。 记g(t) = P k |ψ(t − k)|，显然g以1为周期。故 sup t∈R g(t) = sup 0≤t≤1 g(t) 这时，由（10）有 sup 0≤t≤1 g(t) ≤ sup 0≤t≤1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ X k (1 + |t − k|) −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ X k (1 + ||k| − 1|) −2 < ∞. 对应于连续小波变换的情形，我们有 定理5：设有展开式 f(t) = X j,k dj,kψj,k(t), dj,k =< f, ψj,k(t) > . 则f为α-H¨older连续的，当且仅当 |dj,h| ≤ C2 −( 1 2 +α)j (11) 证：设f是α-H¨older连续的，则 |dj,k| = ¯ ¯ ¯ ¯ + R∞ −∞ f(t)ψj,k(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ + R∞ −∞ (f(t) − f(k2 −j ))ψj,k(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C + R∞ −∞ |t − k · 2 −j | α 2 j 2 (1 + |2 j t − k|) −2dt = C · 2 −( 1 2 +α)j + R∞ −∞ |t| α (1 + |t|) −2dt ≤ C 02 −( 1 2 +α)j 反之，若（11）成立，则有