§4正定二次型 、正定二次型 定义4实二次型f(x1,x2…xn)称为正定的,如果对于任意一组不全为零的实 数c1,C2,…,Cn都有f(c1c2…cn)>0 实二次型 f(x12x2,…,xn)=d1x2+d2x2+…+dnx2 是正定的当且仅当d,>0,i=1,2,…,n 设实二次型 f(x,x2…x)=∑∑ a:a=a 是正定的,经过非退化实线性替换 X=Cy 变成二次型 g(,y2…yn)=∑∑byy,b=bn, (3) 则y1,y2…yn的二次型g(n1,y2…yn)也是正定的,或者说,对于任意一组不全 为零的实数k1,k2…kn都有g(k1,k2…kn)>0 因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换 X=Cy 变到二次型(1),所以按同样理由,当(3)正定时(1)也正定这就是说,非 退化实线性替换保持正定性不变 、正定二次型的判别 定理6实数域上二次型f(x1,x2…x)是正定的它的正惯性指数等于 定理6说明,正定二次型f(x12x2…x)的规范形为§4 正定二次型 一、正定二次型 定义 4 实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 称为正定的,如果对于任意一组不全为零的实 数 n c ,c , ,c 1 2 都有 f (c1 ,c2 , ,cn ) 0 . 实二次型 2 2 2 2 2 1 2 1 1 ( , , , ) n n n f x x x = d x + d x ++ d x 是正定的当且仅当 di 0,i =1,2, ,n . 设实二次型 ( , , , ) , , 1 1 1 2 ij ji n i n j f x x xn =aijxi x j a = a = = (1) 是正定的,经过非退化实线性替换 X = CY (2) 变成二次型 ( , , , ) , , 1 1 1 2 ij ji n i n j g y y yn =bij yi y j b = b = = (3) 则 n y , y , , y 1 2 的二次型 ( , , , ) 1 2 n g y y y 也是正定的,或者说,对于任意一组不全 为零的实数 n k ,k , ,k 1 2 都有 g(k1 ,k2 , ,kn ) 0 . 因为二次型(3)也可以经非退化实线性替换 X C Y −1 = 变到二次型(1),所以按同样理由,当(3)正定时(1)也正定.这就是说,非 退化实线性替换保持正定性不变. 二、正定二次型的判别 定理 6 实数域上二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是正定的 它的正惯性指数等于 n. 定理 6 说明,正定二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形为 2 2 2 2 1 n y + y ++ y (5)