定义5实对称矩阵A称为正定的,如果二次型 正定 因为二次型(5)的矩阵是单位矩阵E,所以一个实对称矩阵是正定的◇→它 与单位矩阵合同 推论正定矩阵的行列式大于零 定义6子式 P 1.2 称为矩阵A=(an)mn的顺序主子式 定理7实二次型 f(x, XAX 是正定的兮矩阵A的顺序主子式全大于零 例判定二次型 5x2+x2+5x2+4x 8 4x 是否正定 定义7设∫(x,x2…,x,)是一实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数 c1,C2,…Cn都有f(c1c2,…cn)<0,那么f(x2x2…,x)称为负定的;如果都有 C 那么f(x1,x2…,x)称为半正定 如果都有 f(c1,c2…,cn)≤0,那么∫(x1,x2,…,x,)称为半负定的;如果它既不是半正定又不 是半负定,那么∫(x,x2…x)就称为不定的 由定理7不难看出负定二次型的判别条件这是因为当f(x1,x2…,x,)是负定 时,-f(x1,x2…,x)就是正定的定义 5 实对称矩阵 A 称为正定的，如果二次型 X AX 正定. 因为二次型（5）的矩阵是单位矩阵 E，所以一个实对称矩阵是正定的  它 与单位矩阵合同. 推论 正定矩阵的行列式大于零. 定义 6 子式 ( 1,2, , ) 1 2 21 22 2 11 12 1 i n a a a a a a a a a P i i ii i i i      = = 称为矩阵 A aij nn = ( ) 的顺序主子式. 定理 7 实二次型 f x x x a x x X AX n i n j n ij i j =  =  =1 =1 1 2 ( , ,, ) 是正定的  矩阵 A 的顺序主子式全大于零. 例 判定二次型 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 2 f (x1 , x2 , x3 ) = 5x1 + x + 5x + 4x x − 8x x − 4x x 是否正定. 定义 7 设 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是一实二次型，如果对于任意一组不全为零的实数 n c ,c , ,c 1 2  都有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ,那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称为负定的；如果都有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称 为 半 正 定 的 ； 如 果 都 有 f (c1 ,c2 ,  ,cn )  0 ，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 称为半负定的；如果它既不是半正定又不 是半负定，那么 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 就称为不定的. 由定理 7 不难看出负定二次型的判别条件.这是因为当 ( , , , ) 1 2 n f x x  x 是负定 时， ( , , , ) 1 2 n − f x x  x 就是正定的