定理8对于实二次型f(x1,x2,…,xn)=XX,其中A是实对称的,下列条件 等价 (1)f(x1,x2,…,x,)是半正定的 (2)它的正惯性指数与秩相等 (3)有可逆实矩阵C,使 其中d,≥0,1=1,2,…,n (4)有实矩阵C使 A=CC (5)A的所有主子式皆大于或等于零; 注意,在(5)中,仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的 比如 f(x1,x2)=-x2=(x1,x2 00x1 就是一个反例 证明Th8,(5)→(1)设A的主子式全大于或等于零,|A41是A的m级顺序 主子式,An是对应的矩阵 JEm+Am= m+PAm-+…+P,A+ P 其中P是A中一切级主子式之和,由题设P>0,故当2>0时,AEm+A>0, AE+A是正定矩阵 若A不是半正定矩阵,则存在一个非零向量x=(b2…b),使定理 8 对于实二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = X AX ,其中 A 是实对称的,下列条件 等价: (1) ( , , , ) 1 2 n f x x x 是半正定的; (2)它的正惯性指数与秩相等; (3)有可逆实矩阵 C ,使 = dn d d C AC 2 1 其中 di 0,i =1,2, ,n ; (4)有实矩阵 C 使 A = CC. (5) A 的所有主子式皆大于或等于零; 注意,在(5)中,仅有顺序主子式大于或等于零是不能保证半正定性的. 比如 − = − = 2 1 1 2 2 1 2 2 0 1 0 0 ( , ) ( , ) x x f x x x x x 就是一个反例. 证明 Th8, (5) (1) 设 A 的主子式全大于或等于零, Am 是 A 的 m 级顺序 主子式, Am 是对应的矩阵 m m m m m m mm m m m m P P P a a a a a a a a a E A = + + + + + + + + = − − 1 1 1 1 2 21 22 2 11 12 1 其中 Pi 是 Am 中一切 i 级主子式之和,由题设 Pi 0 ,故当 0 时, Em + Am 0 , E + A 是正定矩阵. 若 A 不是半正定矩阵,则存在一个非零向量 ( ) n X0 = b1 b2 b ,使