C:、,对于C行1，：也赋予同样定义。 定理5对于i=0,士1，士2，…，n>3,设C:,是L2,轴上的一个完整的分离圆，则在以 C:,。为心，a、a+b和2a+b为半径的圆周上：分别在同样的方位上均布着10个结点，即 C:,0是局部5次对称中心。 证只须证j=0的情形即可。易见C,k,:=C&.,dist(C:g,C。.11)=a,k=【, 2,,10,另一方面从(7)中1式依次推出 C3=Ci.g=C。.6.1;C0.6.2=C0=C'8.4;C:.y=C0 (29) C0.7.2=C0,atC0.7.3=C0.7C0.4.1=C.4=C0.1 (30) 因C。'是与C。相距为a的完整圆，故由(7)知G。!=C。:=C:.1.2。再因C:2是被 叠圆，故将(9)中的n换成n+2后：C:.1.3=C:=C:,C:.1.1=C:.1=C和 C8.1.2=C;Ci10.3=C0t1。=C8:G:.,.1=C:.,=Cgt (31) 下面求C:.,i=8,9,k=2,3,因C。也是完整的分离圆，枚C,2、C。1是对相 重圆，其心的x坐标为X':1=X'2+a+b影X:=Xm-2+3a+2,X:1=X'n-2+5a+ 3b。故C2、C1之心的x坐标是（见(17）2式和(23)1式)：X2=X:+(a+b)cos72°， X=X41-(a+b)cos72°，这暗指C"?8=C:.1,C4=C,由这两式与(30)的 式和(31)的3式知 C.,2=C"2,=Ca10tC;.,=C“4=C0: Ci.,3=C2o3Ca.,3=C0 (32) 现在考察C:.k.,2i≤5,1k3,首先因C。、C。*1同定理3中的(B)(3),枚由 (15)、(15)'知 C8.2.2=C1.,}C.2.y=C1.:Ct1.1=C0.3=C10t C;.s.1=Ci.6=C1 (33) 因C】2重叠着C:1,故(33)的4式还暗指 C。.,2=C1}=C11 o1 Ci.s3=C18 (34) 最后确定Ci.,2、C:..、C；4.2、C:.4.。由于C1是一被叠圆，放将(9)中的 C。、C。1换为C11、C1后有C!=C:;C1:!=C:,又因C12重叠着C1‘故 前两式暗指C1=C1:,从(34)、C1:}=C}与(33)的3式联合得出： C:..2=C1=C;Ca..3=C1bsCa,4:=C1=C1 C0.4.3=C1=C1:6 (35) 综上所述，就证明了本定理。 定理6对于j=0,±1，±2，…n>3,设C2,C;'是L:,轴上两个相距为b的完整 圆，则在以C:.、C。为心，a+b为半径所画的两个圆周形成的哑铃形圆周上，均布者 16个结点。 证只需对=0的情形证明即可，因C。必为完整的分离圆而C:1必是完整的重叠圆， 397， 对 · 于 ‘ 也赋予同样定义 。 ， 士 ， 士 ， … ， 。 ， 设 呈 ， 是 ， 轴上 的一 个完整的分离 圆 ， 定 理 对于 则在 以 孟 ， 。 为心 ， 。 十 和 。 为半径 的圆 周土 ， 分别在 同样的方位上 均布着 个结点 ， 即 二，， 。 是 局部 次 对称 中心 。 证 只须证 。 的情形 即 可 。 易 见 轰 ， 、 ， 急 、 ， 毯 。 ， ， ， 二 口 ， 介 ， ， … ， ， 另一 方面从 ，朴 式 可依 次批 出 少 ， 飞 。 二 毛 。 ， ， 急 。 二 乞 一 卜 ’ 急 ‘ 二 。 导 ， ， ， 二 ‘ 芯 石 。 心 。 。 以 孟 。 产 急 、 一 厂 ， 因 叠 圆 ‘ 是 与 飞相 距 为 。 的完整 圆 ， 故 由 知 、 ‘ 犷 二 毛 ‘ 孟 二 再 因 ‘ 二心 是 被 月 ， 故将 中的 换成 拄 后 名 、 。 二 二 ‘ 二圣 二 二 ‘ 盆 小 二和 毛 ， 。 二 孟 、 。 二 ‘ 犷 。 ‘ 急 公 。 、 益 ‘ 故 ‘ 孟 下 面求 急 。 ， ， ， ， ， 因 ， 急也是完整 的分离圆 ， 重 圆 ， 其心的 坐标为 ， 急 一 ‘ ‘ ” 一 ’ 。 十 二 “ 二 ‘ ’ 一 ’ 十 ， 、 ‘ 二 义 月 一 几 一 是 对相 口 。 故 笃 毛 “ ， 笃 ‘ ， “ 琦 ‘ 玩 ‘ 之 心 的 坐标 是 见 式和 式 鱿 一 “ ， 这 暗 折 ’ 飞 ’ 。 ‘ 认 ， 。 ， “ 飞 ‘ 刁 二 ‘ 犷 ， 由这两式与 的 式 和 的 式知 。 ， ， ” 飞乡 ， 急 ， ， 。 二 。 二 ” 飞 ‘ ‘ 飞 ‘ 性 。 屯 ， ， ， 竺又 。 现 在考察 ，， ， ， 了 ￡‘ ， ‘ 掩一 ， 首 先 因 飞 认 ‘ 同定 理 ， 的 ， 故 由 、 广 知 导 二 ‘ ， ， 二 ‘ 。 ， ， 二 二 ‘ 飞丁 ， 、 奋 。 ， 飞 一 因 ‘ 二 一 重叠 着 ， 一 ‘ ， 故 的 式还 暗 指 二 ， ， ‘ 理丁弄 ， 了节 。 言 ， 二 ‘ 飞 一 盖 最后确定 、 。 、 、 二 。 由于 ‘ 一 ’ 是 一 被叠 圆 ， 故 将 中的 ， 瑞 、 急 一 ’ 换 为 ， 飞 一 ‘ 、 丫 后 有 下 二 丁落 ‘ 飞 一 孟 节丁荟 ， 又 因 下 一 币橇 着 飞 一 ’ 故 前 两式暗指 了丁孟 ， 璧只 ， 从 · 、 呈丁孟 ‘ 翌丁 与 的 式联 合得 出 ， 二 ‘ 飞 一 呈丁 了丁 二 。 ‘ 号 一 乙 一 若 孟… ‘ 万二二 了丁孟 绘 卜所 述 ， 就 证 明 了本定 理 。 定 理 对于 ， 士 ， 士 ， ” · ， 设 ，， 刘 ’ 是 。 ， 轴 上 两个相距 为 的完整 圆 ， 则在 以 二， 。 、 封产 。 为 心 ， 为 半择所 画 的两 个 圆 周形 成 的哑 铃形 圆周 ， 均 布 若 个结点 。 证 只需对 的情形证 明即可 ， 因 二必 为完整的分离圆而 苏 牛 ‘ 必 是 完整的重叠圆