52 线性代数重点难点30讲 (1)如果a,B是方程组(11.1)的解,则a-阝是它的导出组(11.2)的解 (2)如果a是方程组(11)的解,B是方程组(112)的解则a+β是方程组(11.1)的解 3.解的结构定理 如果η是方程组(11)的一个特解,51,52,…,5是方程组(112)的一个基础解系, 则方程组(11.1)的全部解是 +k151+k252+…+kn-5,-,, 其中r为矩阵A的秩,k1,k2,…,k,,为数域R的任意数 4.线性方程组求解方法 方法1对于方程组个数等于未知量个数的方程组,可用克莱姆法则(这时要求A≠ 当系数矩阵的行列式D=1A1≠0时,方程组有唯一解,可表示为 (j=1,2,…,n), 其中D,为D中第j列的元素用方程组右端常数列代换所得到的行列式 方法2对增广矩阵B作行的初等变换,将其化为行最简形,得到其所对应的阶梯形方 程组,利用这个阶梯形方程组与原方程组的等价关系来求解 例1求下列齐次线性方程组的一个基础解系 3 0, 2x3 x1-x2 2+x3+3 (2) +2x3-x4 +5x4=0. 1 7x 解(1)对方程组的系数矩阵A施行初等行变换,化成行最简形: 12 10-12 2-6 显然 R(A)=2 由此可得到原方程组的同解方程组: x1=3-2x,(x1,x,是可任意取值的自由未知量) 3 2 令[]依次取4-R(A)=2组线性无关的数组(小依次得(-(3[1 从而求得原方程组的一个基础解系为 这里应注意,解空间的基即基础解系不唯一,只要令取另外两组线性无关的数组