线性方程组解的结构 第11讲线性方程组解的结构 、齐次线性方程组 nU,=0 211+a 定义.a1,a2,…,a,为齐次线性方程组的一组解,如果满足:①ax1,a2,…,a,线性无 ammAn=0 关;②齐次线性方程组的任一解均可用a1,a2,…,a,线性表示,则a1,a2,…,ax,称为齐次 线性方程组的一个基础解系 齐次线性方程组的性质 (1)两个解的和仍是方程组的解 (2)一个解的若干倍仍是方程组的解 2.齐次线性方程组的有关定理 (1)如果方程组的系数阵A的秩为n,则方程组只有零解; (2)如果A的秩r<n,则方程组有非零解,此时方程组有基础解系51,52,…,n,其 含向量个数为n-r,其通解为x=k151+k252+…+kn5n- (3)方程的个数少于未知量的个数时,方程组有非零解; (4)如果方程个数等于未知量的个数,方程组有非零解的充分必要条件是|A 、非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组: +a1nx,=b:, x2+… br 它的导出组为 amICI+ am2 2+".+amma b 0 42x1+a 1x1+an2x2+…+anxn=0. 令A为(11.1)的系数矩阵,B为(11.1)的增广矩阵 解的判定定理 (1)如果秩R(A)=R(B)=n,则方程组有唯一解; (2)如果R(A)=R(B)=r<n,则方程组有无穷多解; (3)如果R(A)≠R(B),则方程组无解 2.解的性质定理